Riassunto - Logica - Ministero della Cultura 1500 Assistenti alla Vigilanza

La Logica non è una materia di contenuto: non ci sono articoli di legge da ripassare, non c'è una normativa da imparare a memoria. È una materia attitudinale, cioè misura una procedura mentale, una capacità di riconoscere in pochi secondi la struttura di un problema e di applicare la manovra corretta. Questo cambia radicalmente il metodo di studio rispetto alle materie giuridiche o amministrative: rileggere una regola dieci volte serve pochissimo, mentre svolgere trenta quesiti dello stesso tipo fino a riconoscerne l'impianto a colpo d'occhio serve moltissimo. Per il profilo di Assistente, il livello richiesto è operativo: pochi tecnicismi, molta velocità di applicazione su schemi semplici e ripetuti.

Nella prova scritta unica del concorso, senza preselettiva, la Logica vale 7 quesiti su 40, accanto a 15 quesiti specifici del profilo, 10 quesiti comuni e 8 situazionali. Il punto pratico da tenere fisso è che i quesiti di logica di un concorso per profilo Assistente non chiedono raffinatezza teorica: chiedono di applicare correttamente, senza sbagliare, uno schema che si ripete quasi identico da un quesito all'altro. Il candidato che ha visto lo schema venti volte lo riconosce in cinque secondi; chi lo vede per la prima volta il giorno della prova perde due minuti a ragionare da zero, e in una prova a tempo quei due minuti pesano su tutte le altre risposte.

Il metodo di studio efficace ha percio' tre caratteristiche. Deve essere per famiglie: si esercitano venti serie numeriche di fila, poi venti sillogismi, poi venti problemi di insiemi, perché è la ripetizione ravvicinata a fissare il riconoscimento dello schema. Deve essere a tempo, perché risolvere un quesito senza limiti allena un'abilita' diversa da quella richiesta in prova. E deve prevedere una revisione degli errori: per ogni quesito sbagliato va individuata in una riga la causa - ho negato male un "tutti", ho sommato due percentuali che andavano moltiplicate, ho mediato due medie - perché ciascuno tende a ripetere sempre gli stessi due o tre errori, e conoscerli vale più di qualsiasi ripasso teorico.

Un sillogismo categorico è un ragionamento fatto di due premesse e una conclusione, costruito sui quantificatori "tutti", "nessuno", "alcuni". Il concetto da afferrare prima di ogni tecnica è la differenza tra validità e verità. Un ragionamento è valido se la conclusione discende necessariamente dalle premesse, indipendentemente dal fatto che le premesse siano vere nella realtà. Un enunciato è vero se corrisponde ai fatti. Le due cose sono indipendenti tra loro: se le premesse dicono "tutti i gatti sono uccelli" e "tutti gli uccelli volano", la conclusione che segue necessariamente è "tutti i gatti volano", per quanto assurda suoni. La regola pratica per affrontare questi quesiti è: si sospende il buon senso e si trattano le premesse come dati assoluti, veri per ipotesi.

Bisogna avere chiarissimo che cosa afferma ciascun quantificatore e, soprattutto, quale sia la sua negazione corretta: è qui che si concentra l'errore più frequente in assoluto.

• Tutti gli A sono B. Afferma che l'insieme A è interamente contenuto in B. La sua negazione non è "nessun A è B", ma "almeno un A non è B": per smentire "tutti gli impiegati dell'ufficio hanno la delega" basta un solo impiegato senza delega, non serve dimostrare che nessuno ce l'ha.
• Nessun A è B. Afferma che A e B non hanno alcun elemento in comune. La sua negazione è "almeno un A è B".
• Alcuni A sono B. In logica "alcuni" significa "almeno uno" e non esclude "tutti": se tutti gli impiegati hanno la delega, è vero anche che alcuni impiegati hanno la delega. Nel linguaggio comune "alcuni" suggerisce "alcuni si' e altri no", ma questa sfumatura non conta nel quesito. La sua negazione è "nessun A è B".
• Alcuni A non sono B. Afferma che almeno un elemento di A sta fuori da B. La sua negazione è "tutti gli A sono B".

La conversione consiste nello scambiare soggetto e predicato di un enunciato. Alcune conversioni conservano la verità, altre no. "Nessun A è B" si converte liberamente in "nessun B è A": se due insiemi non si toccano, non si toccano in nessuna direzione. Anche "alcuni A sono B" si converte in "alcuni B sono A". Ma "tutti gli A sono B" NON si converte in "tutti i B sono A": questa è la conversione illecita dell'universale affermativa, la trappola numero uno dei sillogismi. Da "tutti gli assistenti amministrativi sono dipendenti pubblici" non segue affatto "tutti i dipendenti pubblici sono assistenti amministrativi". Ciò che segue legittimamente, se esiste almeno un assistente amministrativo, è solo la forma indebolita "alcuni dipendenti pubblici sono assistenti amministrativi".

Quesito. Premesse: "Tutti gli addetti allo sportello parlano inglese" e "Alcuni che parlano inglese lavorano al front office". Quale conclusione segue necessariamente? (A) Alcuni addetti allo sportello lavorano al front office (B) Alcuni che lavorano al front office parlano inglese (C) Nessun addetto allo sportello lavora al front office (D) Tutti quelli che parlano inglese sono addetti allo sportello

Svolgimento. La B è semplicemente la conversione lecita della seconda premessa: "alcuni che parlano inglese lavorano al front office" implica "alcuni che lavorano al front office parlano inglese", quindi è certamente vera - risposta B. La A è il distrattore più forte, perché la mente la costruisce incatenando le premesse; ma quelli che "parlano inglese e lavorano al front office" potrebbero essere tutti persone diverse dagli addetti allo sportello: la conclusione è possibile, non necessaria. La C afferma il contrario ed è altrettanto non necessaria. La D è la conversione illecita della prima premessa. Regola d'oro: da due premesse in cui almeno una è particolare ("alcuni") non si può mai ricavare una conclusione universale ("tutti", "nessuno").

Quesito. Premesse: "Nessun impiegato part-time lavora il sabato", "Tutti quelli che lavorano il sabato ricevono l'indennita'" e "Alcuni impiegati sono part-time". Che cosa segue necessariamente? (A) Nessun impiegato part-time riceve l'indennita' (B) Tutti gli impiegati part-time ricevono l'indennita' (C) Alcuni che ricevono l'indennita' non sono impiegati part-time (D) Nulla segue

Svolgimento. La A è la tentazione naturale, ma è un salto illegittimo: lavorare il sabato è una causa dell'indennita', le premesse non dicono che sia l'unica, quindi un part-time potrebbe ricevere l'indennita' per un altro motivo. La B non segue per la stessa ragione opposta. La C sembra seguire, ma non è certa: chi lavora il sabato non è part-time (dalla prima premessa, per contronominale) e riceve l'indennità (seconda premessa), quindi C sarebbe vera solo se almeno una persona lavorasse davvero il sabato. Nessuna premessa lo garantisce: la terza dice soltanto che esistono impiegati part-time, e quelli il sabato non lavorano. Se il testo dicesse che qualcuno lavora il sabato, la risposta sarebbe C; così com'è, la risposta corretta è D, nulla segue con certezza. Questo esempio mostra un punto cruciale: quando manca l'informazione che una categoria non è vuota, spesso la risposta prudente e corretta è che nulla segue necessariamente, anche quando la struttura sembra promettente.

L'enunciato condizionale "se A allora B" - dove A è l'antecedente e B il conseguente - afferma una cosa sola: non può accadere che A sia vero e B falso. In altre parole A è condizione sufficiente per B, e B è condizione necessaria per A. Una condizione è sufficiente quando basta da sola a garantire l'altra; è necessaria quando, senza di essa, l'altra non può verificarsi. Confondere le due è l'errore più costoso della prova: "chi ha almeno tre anni di anzianità può fare domanda" non dice che chiunque faccia domanda abbia tre anni di anzianità - dice solo che i tre anni sono sufficienti per poter fare domanda, non che siano necessari per chiunque la presenti.

Da "se A allora B" derivano tre enunciati diversi, e solo uno è equivalente all'originale.

• La contronominale è "se non B allora non A": si negano entrambi i termini e si scambiano di posto. È sempre equivalente all'originale. Se "quando piove la strada è bagnata" è vero, allora è vero anche "se la strada non è bagnata, non sta piovendo".
• L'inverso è "se non A allora non B": si negano i termini senza scambiarli. Non è equivalente. Da "se piove la strada è bagnata" non segue "se non piove la strada non è bagnata" - potrebbe essere passata un'autobotte.
• Il converso è "se B allora A": si scambiano i termini senza negarli. Non è equivalente. Da "se piove la strada è bagnata" non segue "se la strada è bagnata, allora piove".

Dato "se A allora B", esistono esattamente due mosse valide. Il modus ponens: se so che A è vero, concludo che B è vero. Il modus tollens: se so che B è falso, concludo che A è falso (è la contronominale usata in avanti). Tutto il resto è errore. Il primo errore classico è l'affermazione del conseguente: sapere che B è vero e concluderne che A è vero, invalido perché B può avere molte cause diverse da A. Il secondo è la negazione dell'antecedente: sapere che A è falso e concluderne che B è falso, invalido per la stessa ragione. Schema riassuntivo da imparare come un algoritmo: so A vero → concludo B; so B falso → concludo non A; so B vero → non concludo nulla; so A falso → non concludo nulla.

Quesito. "Se una pratica è incompleta, viene restituita al mittente." Sappiamo che la pratica di Bianchi è stata restituita. Che cosa segue? (A) La pratica di Bianchi era incompleta (B) La pratica di Bianchi era completa (C) Nulla di certo sulla completezza della pratica di Bianchi (D) Bianchi non ha presentato alcuna pratica

Svolgimento. Sappiamo che il conseguente ("viene restituita") è vero: siamo nel caso "so B vero", dal quale non si conclude nulla, perché la pratica potrebbe essere stata restituita per un altro motivo (firma mancante, allegato assente, e via dicendo). La risposta è C. La A è l'affermazione del conseguente ed è il distrattore più scelto in assoluto: il cervello legge il condizionale come se fosse una biimplicazione ("se e solo se"), che invece afferma che le due cose stanno o cadono insieme. Ogni volta che si è tentati di concludere "allora era incompleta", va chiesto: il testo ha detto che quella è l'unica causa possibile? Se non l'ha detto, la risposta corretta è "nulla di certo".

Quesito. "Tutti i candidati idonei hanno superato la prova pratica." Verdi non ha superato la prova pratica. Che cosa segue? (A) Verdi non è idoneo (B) Verdi è idoneo (C) Verdi potrebbe essere idoneo (D) Nulla segue

Svolgimento. Riscriviamo l'universale in forma condizionale, cosa che conviene fare sempre: "se idoneo, allora ha superato la prova pratica". Sappiamo che il conseguente è falso. Siamo nel modus tollens, deduzione valida: l'antecedente è falso, dunque Verdi non è idoneo, risposta A. La stessa informazione, letta tenendo in testa lo schema "se A allora B", si risolve in pochi secondi; affrontata a intuito genera esitazione.

Meritano attenzione alcune traduzioni linguistiche frequenti. "A solo se B" significa "se A allora B" - il "solo se" introduce la condizione necessaria, non quella sufficiente, ed è l'esatto rovescio di quanto suggerisce l'orecchio. "A a meno che B" significa "se non B allora A". "Nessuno tranne i B è A" significa "se A allora B". "Basta A per B" significa "se A allora B", mentre "serve A per B" significa "se B allora A". Scrivere la traduzione a margine del foglio prima di guardare le opzioni evita l'errore più comune di questo capitolo.

A differenza del ragionamento deduttivo, dove la conclusione è garantita dalle premesse, il ragionamento induttivo parte da casi osservati per arrivare a una regola generale probabile, non certa. Se in cinque riunioni consecutive il responsabile è arrivato in ritardo, è ragionevole (non certo) prevedere che arrivera' in ritardo anche alla sesta: è un'inferenza plausibile, non una deduzione valida, e i quesiti ben costruiti chiedono di distinguere le due cose. Il tranello tipico è presentare una conclusione induttiva come se fosse necessaria: "negli ultimi tre mesi le domande online sono aumentate, quindi il prossimo mese aumenteranno ancora" è una previsione, non una deduzione, e va sempre riconosciuta come tale.

Il ragionamento analogico confronta due situazioni per somiglianza strutturale, non per somiglianza superficiale. Nei quesiti del tipo "A sta a B come C sta a X", il passaggio obbligato è esplicitare a parole la relazione tra A e B - parte/tutto, causa/effetto, strumento/funzione, contenitore/contenuto, grado di intensità - e poi cercare l'unica opzione che riproduce quella relazione nello stesso verso: se A è lo strumento e B chi lo utilizza, l'opzione corretta non può avere l'utilizzatore al primo posto.

Quesito. Penna sta a scrivere come forbici sta a: (A) carta (B) tagliare (C) affilare (D) mano

Svolgimento. La relazione tra "penna" e "scrivere" è strumento/funzione: la penna è lo strumento, scrivere è la funzione che quello strumento svolge. Cercando la stessa relazione nello stesso verso per "forbici", la risposta è l'azione che le forbici compiono, cioè tagliare, risposta B. "Carta" è un distrattore da campo semantico (le forbici tagliano spesso la carta, ma "carta" non è una funzione, è un oggetto su cui si opera); "affilare" è un'azione che si fa alle forbici, non che le forbici fanno; "mano" è l'agente che usa lo strumento, ruolo diverso da quello richiesto. L'errore più comune in questa famiglia è fermarsi al campo semantico (parole della stessa area tematica) invece di verificare che la relazione sia identica e nello stesso verso.

Quesito. Impiegato sta a stipendio come azionista sta a: (A) banca (B) dividendo (C) azione (D) risparmio

Svolgimento. La relazione tra "impiegato" e "stipendio" è agente/compenso ricevuto per la propria attività: l'impiegato lavora e riceve lo stipendio come remunerazione. Cercando la stessa relazione per "azionista", si cerca il compenso che l'azionista riceve in quanto tale, cioè il dividendo, risposta B. "Azione" è il distrattore più insidioso perché è semanticamente vicinissimo (l'azionista possiede azioni), ma il ruolo è sbagliato: l'azione è il bene posseduto, mentre il dividendo è una quota degli utili che può essergli distribuita, ma non un compenso periodico garantito - esattamente come "impiegato" non sta a "contratto di lavoro" ma a "stipendio". "Banca" e "risparmio" sono fuori tema, non riproducono affatto la relazione richiesta. Questo tipo di analogia, basata su ruoli economici o professionali, è frequente nei quesiti orientati al profilo amministrativo e va risolta esplicitando sempre a parole il tipo di legame prima di guardare le opzioni.

Una serie numerica è una sequenza costruita secondo una regola nascosta; il quesito chiede il termine mancante. Esiste una scaletta di controlli da applicare sempre nello stesso ordine, che risolve la larghissima maggioranza dei casi in pochi secondi.

Il primo controllo è quello delle differenze: quanto vale ogni termine meno il precedente. Se le differenze sono costanti, la serie è aritmetica. Se non sono costanti ma formano a loro volta una sequenza regolare, è una serie "a differenze crescenti" e si prosegue quella seconda sequenza. Il secondo controllo, da fare quando il primo fallisce, è quello dei rapporti: ogni termine diviso il precedente; se costante, la serie è geometrica. Il terzo controllo scatta quando la serie sale e scende in modo irregolare: si sospetta l'alternanza di due sottoserie, e si guardano separatamente i termini di posto dispari e quelli di posto pari. Il quarto controllo, residuale, riguarda i numeri figurati: quadrati, cubi, numeri primi, eventualmente aumentati o diminuiti di una costante.

Quesito. Completare: 3, 6, 12, 24, ? (A) 30 (B) 36 (C) 48 (D) 42

Svolgimento. Differenze: 3, 6, 12 - non costanti, ma raddoppiano, già un indizio forte. Rapporti: 6/3=2, 12/6=2, 24/12=2, costante: serie geometrica di ragione 2. Il termine mancante è 24 x 2 = 48, risposta C. Il distrattore più insidioso è 36, che nasce da 24+12: è l'errore di chi ripete l'ultima differenza vista (+12) invece di accorgersi che la differenza stessa raddoppia a ogni passo. 30 si ottiene proseguendo con +6; 42 con +18, ma nessuno dei due segue una differenza costante in tutta la serie.

Quesito. Completare: 2, 5, 11, 23, ? (A) 45 (B) 46 (C) 47 (D) 35

Svolgimento. Differenze: 3, 6, 12 - raddoppiano, ma la serie non è puramente geometrica (i rapporti 5/2, 11/5, 23/11 non sono costanti). Si prova la regola composta "moltiplica per due e aggiungi uno": 2x2+1=5, 5x2+1=11, 11x2+1=23, tutto verificato. Applicando ancora: 23x2+1=47, risposta C. Il distrattore da battere è 46, il semplice raddoppio senza il "+1": cattura chi vede la struttura moltiplicativa ma trascura il termine aggiuntivo. Ogni volta che una serie è "quasi geometrica" - i rapporti si avvicinano a un intero senza esserlo - conviene sospettare subito una regola a due passi.

Quesito. Completare: 4, 9, 7, 12, 10, ? (A) 8 (B) 15 (C) 13 (D) 14

Svolgimento. Le differenze sono +5, -2, +5, -2: alternanza di due operazioni. Dopo il -2 che ha prodotto 10 tocca il +5, quindi 10+5=15, risposta B. In alternativa, le due sottoserie: posti dispari 4, 7, 10 (passo +3) e posti pari 9, 12 (passo +3); il termine cercato è il terzo della serie pari, cioè 15. Le due letture devono sempre coincidere: è un controllo gratuito. Il distrattore 8 nasce da chi legge l'alternanza al contrario e applica -2 invece di +5.

Quesito. Completare: 1, 4, 9, 16, 25, ? (A) 30 (B) 35 (C) 36 (D) 49

Svolgimento. Sono i quadrati dei numeri naturali: 1, 4, 9, 16, 25 sono rispettivamente 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 5x5. Il successivo è 6x6=36, risposta C. Il distrattore 49 è il quadrato successivo ancora (7x7) e cattura chi salta un posto. La differenza successiva è +11, non +9, perché nelle serie di quadrati le differenze crescono di due in due: 3, 5, 7, 9, 11. Conviene memorizzare i quadrati fino a 15 e i cubi fino a 8: è l'unico ripasso mnemonico davvero redditizio in questa famiglia.

Nelle serie di lettere ogni lettera è semplicemente un numero travestito. La manovra è costante: si sostituisce ogni lettera con la sua posizione nell'alfabeto, si risolve la serie numerica risultante, si ritraduce in lettera. L'unico vero rischio è quale alfabeto usare: quello italiano ha 21 lettere e non contiene J, K, W, X, Y; quello internazionale ne ha 26. Se nella sequenza compare una di quelle cinque lettere, l'alfabeto è certamente quello a 26; altrimenti conviene provare prima l'italiano.

Quesito. Completare (alfabeto italiano di 21 lettere): B, D, G, M, ? (A) N (B) P (C) R (D) Q

Svolgimento. Scriviamo la scala completa contando una posizione alla volta: A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, L=10, M=11, N=12, O=13, P=14, Q=15, R=16. Traduciamo la serie: B=2, D=4, G=7, M=11. Le differenze sono 4-2=+2, 7-4=+3, 11-7=+4: crescono di uno in uno, quindi il passo successivo è +5. Il termine mancante vale 11+5=16, e la sedicesima lettera è R: risposta C. Vale ricontare l'ultimo tratto per sicurezza (M=11, N=12, O=13, P=14, Q=15, R=16), perché l'errore tipico non è sbagliare la regola ma sbagliare di una posizione nel ritradurre il numero in lettera. N=12 si ottiene sommando 1 a 11 invece della differenza attesa di +5; P=14 e Q=15 nascono dal riapplicare rispettivamente +3 e +4.

Due varianti ricorrenti meritano attenzione. La serie a coppie (AC, BD, CE...), dove le due lettere di ciascuna coppia hanno distanza fissa e ogni coppia avanza di un posto: sono due serie parallele. La serie circolare, in cui si supera la fine dell'alfabeto e si riparte dall'inizio: se sommando il passo si va oltre 21 (o 26), si sottrae 21 (o 26) e si prosegue.

Quesito. Completare (alfabeto internazionale di 26 lettere): F, K, P, U, ? (A) X (B) Y (C) Z (D) W

Svolgimento. L'indizio che impone l'alfabeto a 26 lettere compare già nella sequenza, perché contiene la K, e la consegna lo conferma: si contano tutte le lettere, comprese J, K, W, X, Y. Traduciamo: F=6, K=11, P=16, U=21. Le differenze sono 11-6=5, 16-11=5, 21-16=5: costanti, passo +5. Il termine successivo vale 21+5=26, e la ventiseiesima lettera dell'alfabeto internazionale è Z: risposta C. Qui la serie è aritmetica pura, quindi più semplice della precedente, ma il rischio si sposta tutto sul conteggio finale: chi conta a memoria senza scrivere la scala rischia di fermarsi a Y (25) o di sconfinare oltre Z. Vale sempre la regola pratica di scrivere le ultime lettere della scala (V=22, W=23, X=24, Y=25, Z=26) invece di contare a mente, perché l'errore più frequente in questa famiglia non riguarda la regola ma l'ultimo tratto di conteggio.

Un diagramma di Venn rappresenta gli insiemi come regioni che si sovrappongono; l'area comune a due insiemi si chiama intersezione e contiene gli elementi che appartengono a entrambi, mentre l'unione contiene quelli che appartengono ad almeno uno dei due. Il complementare di un insieme è tutto cio' che sta fuori da esso, rispetto all'universo del problema. La distinzione che i quesiti sfruttano di continuo è tra "A" e "solo A": "gli iscritti al corso di inglese" comprende anche chi è iscritto pure a informatica, "solo inglese" esclude i doppi iscritti.

Quesito. In un ufficio di 100 dipendenti, 60 usano il gestionale pratiche e 45 usano la posta certificata; 20 usano entrambi gli strumenti. Quanti dipendenti non usano nessuno dei due?

Svolgimento. Si applica il principio di inclusione-esclusione: chi usa almeno uno strumento è 60+45-20=85. Il -20 è necessario perché chi usa entrambi è stato contato due volte, una nei 60 e una nei 45. I dipendenti che non usano nessuno dei due sono 100-85=15. I distrattori tipici sono 35, che nasce dal sommare solo chi usa un unico strumento (40+25=65) dimenticando i 20 che li usano entrambi, e 0, che nasce da un calcolo grossolano che tratta i due gruppi come disgiunti (60+45 supera già 100). Il controllo di coerenza va sempre fatto: solo gestionale=60-20=40, solo PEC=45-20=25, entrambi=20, nessuno=15; totale 40+25+20+15=100. Se il totale non torna a 100, c'è un errore.

Quesito. Il 70% degli utenti di uno sportello ha presentato domanda online e il 50% ha usato l'app. Qual è la percentuale minima di utenti che ha fatto entrambe le cose?

Svolgimento. Se 70% e 50% fossero insiemi disgiunti, l'unione sarebbe 120%, impossibile perché il totale non può superare il 100%. L'eccedenza 70+50-100=20% è la sovrapposizione minima obbligata. Questo tipo di quesito si risolve sempre con la stessa formula: somma delle percentuali meno 100, se positivo; altrimenti il minimo è zero. Il distrattore ricorrente è 50%, che risponde invece alla domanda opposta (il massimo possibile nell'intersezione, che non può superare il più piccolo dei due dati).

Il calcolo delle probabilità di base misura quanto è probabile un evento come rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, quando tutti gli esiti sono ugualmente probabili.

Quesito. In un sacchetto ci sono 5 palline rosse, 3 blu e 2 verdi, tutte indistinguibili al tatto. Estraendo una pallina a caso, qual è la probabilità che sia rossa?

Svolgimento. I casi possibili sono 10 (5+3+2), i casi favorevoli sono 5. La probabilità è 5/10=0,5, cioè il 50%. Nei quesiti con due estrazioni senza reinserimento , occorre ricalcolare il totale a ogni estrazione: la probabilità di estrarre due palline rosse di fila, senza rimettere dentro la prima, è 5/10 (prima estrazione, su 10 totali) per 4/9 (seconda estrazione, restano 4 rosse su 9 palline totali), cioè 5/10 x 4/9 = 20/90 = 2/9 . L'errore tipico è moltiplicare 5/10 per 5/10, ottenendo 1/4, dimenticando che dopo la prima estrazione restano 9 palline, di cui 4 rosse.

Il calcolo combinatorio elementare distingue due situazioni. Quando l'ordine non conta (si sceglie un gruppo, un comitato), si usa la combinazione: scegliere 3 persone da un gruppo di 8, senza distinzione di ruolo, da' 56 possibilità (si calcola come 8x7x6 diviso 3x2x1). Quando l'ordine conta (si assegnano ruoli distinti, per esempio presidente, segretario e tesoriere tra 8 candidati), si usa la disposizione: 8x7x6=336 possibilità, perché ogni assegnazione diversa dei tre ruoli conta come caso distinto.

Quesito. In un ufficio di 6 impiegati vanno scelte 2 persone per rappresentare l'ufficio in una riunione, senza ruoli distinti tra le due. In quanti modi diversi si può fare la scelta?

Svolgimento. L'ordine non conta: scegliere prima Rossi e poi Bianchi è lo stesso gruppo di scegliere prima Bianchi e poi Rossi. Si tratta quindi di una combinazione: C(6,2) = 6x5 diviso 2x1 = 30 diviso 2 = 15 modi diversi. Se invece i due ruoli fossero distinti (per esempio un titolare e un supplente), la stessa coppia di persone genererebbe due casi diversi a seconda di chi è titolare e chi supplente, e il conteggio salirebbe alla disposizione 6x5=30, esattamente il doppio: ogni coppia non ordinata si sdoppia in due coppie ordinate. Questo raddoppio (in generale, la moltiplicazione per il numero di modi di ordinare gli elementi scelti) è il modo più rapido per passare da una combinazione alla disposizione corrispondente, e per verificare a mente se il conteggio fatto è quello richiesto dal quesito.

La domanda-chiave per capire quale formula usare è sempre: "se cambio l'ordine tra gli elementi scelti, ottengo un caso diverso?". Se la risposta è si', servono le disposizioni; se è no, le combinazioni.

Un'ultima insidia riguarda gli eventi composti , cioè i quesiti in cui un evento si forma dall'unione di più condizioni collegate da "o".

Quesito. Lanciando un dado a sei facce non truccato, qual è la probabilità di ottenere un numero pari oppure un multiplo di 3?

Svolgimento. I numeri pari sono 2, 4, 6; i multipli di 3 sono 3, 6. L'errore tipico è sommare semplicemente 3 casi pari + 2 casi multipli di 3 = 5 casi favorevoli su 6, dimenticando che il numero 6 compare in entrambi gli elenchi e va contato una sola volta. L'insieme unito dei casi favorevoli è {2, 3, 4, 6}, cioè 4 elementi distinti, non 5. La probabilità è 4/6, che semplificato da' 2/3. È lo stesso principio di inclusione-esclusione visto per gli insiemi applicato al conteggio dei casi favorevoli: unione uguale somma dei due gruppi meno la loro intersezione (in questo caso l'intersezione è il solo numero 6, contato due volte per errore da chi si limita a sommare).

Una percentuale è una frazione con denominatore 100: calcolare il 15% di 240 significa moltiplicare 240 per 0,15. La difficoltà non sta mai nel calcolo, sta nel capire rispetto a quale base la percentuale è calcolata. Un aumento del 20% si ottiene moltiplicando per 1,20; una riduzione del 20% moltiplicando per 0,80.

Da qui nasce l'errore più redditizio per chi costruisce i quesiti: un aumento seguito da uno sconto della stessa entità non riporta al punto di partenza. Il motivo è che le due percentuali si applicano a basi diverse: l'aumento si applica al prezzo iniziale, lo sconto al prezzo già aumentato, che è più alto.

Quesito. Un articolo costa 100 euro. Viene prima aumentato del 20%, poi scontato del 20%. Quanto costa alla fine? (A) 100 euro (B) 96 euro (C) 104 euro (D) 98 euro

Svolgimento. 100x1,20=120; poi 120x0,80=96 euro, risposta B. La perdita netta è del 4%, che corrisponde esattamente al prodotto delle due variazioni (0,20x0,20=0,04). La risposta A è il distrattore per chi compensa mentalmente "+20 e -20 fanno zero", ed è scelta da moltissimi candidati sotto pressione di tempo. Regola generale: le variazioni percentuali non si sommano, si moltiplicano come fattori. Due aumenti del 10% consecutivi non danno +20% ma 1,10x1,10=1,21, cioè +21%.

La stessa trappola si presenta, con segno invertito, quando le due variazioni sono due sconti successivi uguali invece di un aumento e uno sconto.

Quesito. Un articolo costa 150 euro. Viene scontato due volte consecutive del 10%. Quanto costa alla fine, e a quanto corrisponde lo sconto complessivo in percentuale sul prezzo di partenza?

Svolgimento. 150x0,90=135 dopo il primo sconto; 135x0,90=121,50 euro dopo il secondo. Lo sconto complessivo non è il 20% (10+10), ma si calcola dal fattore moltiplicativo complessivo 0,90x0,90=0,81, cioè un prezzo finale pari all'81% di quello di partenza: lo sconto equivalente è dunque 19%, non 20%. Il distrattore "150-20%=120 euro" è quasi sempre tra le opzioni proprio perché cattura chi somma gli sconti invece di moltiplicare i fattori residui. La regola vale in entrambe le direzioni, aumenti o sconti: per comporre variazioni percentuali successive si moltiplicano sempre i fattori (1 più o meno la percentuale, in forma decimale), mai le percentuali stesse.

Un secondo punto critico è la differenza tra punti percentuali e variazione percentuale. Se un tasso di assenteismo passa dal 4% al 6%, è cresciuto di 2 punti percentuali, ma del 50% in termini relativi (perché 2 è la meta' di 4). I quesiti giocano su questa ambiguità offrendo entrambi i numeri tra le opzioni: bisogna leggere con attenzione se la domanda chiede "di quanti punti" o "di quale percentuale".

Una proporzione è l'uguaglianza tra due rapporti. Il caso classico è la riduzione all'unita': se 4 addetti smaltiscono 200 pratiche in 5 giorni, per sapere quante ne smaltiscono 6 addetti in 3 giorni conviene calcolare la produttività unitaria - 200 diviso (4x5) = 10 pratiche per addetto al giorno - e poi moltiplicare: 10x6x3=180 pratiche. Ragionare per unità evita completamente gli errori di impostazione della proporzione.

La media aritmetica è la somma dei valori diviso il loro numero. L'insidia dei quesiti sta nelle medie di medie: la media di due medie non è la loro media semplice se i gruppi hanno numerosità diverse. Se un gruppo di 10 persone ha eta' media 6 anni di servizio e un gruppo di 30 persone ne ha media 8, la media complessiva non è 7 ma (10x6+30x8)/40=300/40=7,5. Bisogna sempre tornare alle somme totali, mai mediare le medie: il distrattore 7 è sistematicamente presente nelle opzioni.

Un'altra insidia riguarda la velocità media nei problemi di moto: se si percorre un tratto a 60 km/h e lo stesso tratto di ritorno a 40 km/h, la velocità media non è 50 km/h, perché si passa più tempo alla velocità più bassa. Va calcolata come spazio totale diviso tempo totale: su 120 km per tratta, l'andata dura 2 ore e il ritorno 3 ore, quindi 240 km in 5 ore, cioè 48 km/h.

Nei problemi di lavoro il trucco unico è ragionare in termini di lavoro svolto per unità di tempo, non di tempo impiegato. Se un impiegato completa una pratica in 6 ore, in un'ora ne fa 1/6; se un collega la completa in 3 ore, in un'ora ne fa 1/3. Lavorando insieme fanno 1/6+1/3=1/2 di pratica all'ora, quindi impiegano 2 ore. L'errore ricorrente è fare la media dei tempi (6 e 3 danno 4,5), che è logicamente assurdo perché in due si deve impiegare meno del più veloce dei due. Questo controllo di plausibilità - "il risultato deve essere inferiore al tempo del più veloce" - permette di scartare due opzioni su quattro senza fare alcun calcolo.

I problemi di eta' si risolvono impostando un'equazione con l'eta' attuale come incognita, ma la scorciatoia utile è la verifica di plausibilità finale.

Quesito. Un padre ha un'eta' tripla di quella del figlio. Tra 5 anni l'eta' del padre sarà il doppio di quella del figlio. Quanti anni ha oggi il figlio?

Svolgimento. Indichiamo con f l'eta' del figlio oggi: il padre ha 3f. Tra 5 anni il figlio avrà f+5 e il padre 3f+5, e deve valere 3f+5=2(f+5), cioè 3f+5=2f+10, da cui f=5 e il padre ne ha 15. Verifica: tra 5 anni il figlio ha 10 e il padre 20, esattamente il doppio. La tecnica generale è sempre la stessa: si traduce ogni frase in un'equazione con la stessa incognita, si risolve, e infine si verifica sostituendo i valori trovati nel testo originale - un controllo che costa dieci secondi e smaschera quasi ogni errore di impostazione.

Nel calcolo rapido stimato, utile in tutti i quesiti numerici quando il tempo stringe, non serve il risultato esatto ma individuare l'unica opzione compatibile con un ordine di grandezza. Se il quesito chiede il 19% di 812 e le opzioni sono 154, 254, 96 e 1.540, basta osservare che il 20% di 800 è 160 per capire che la risposta è 154 senza calcolare nulla di preciso (il valore esatto è 154,28). Analogamente, per moltiplicare per 25 conviene moltiplicare per 100 e dividere per 4; per calcolare il 15% si somma il 10% (si sposta la virgola) e la sua meta'.

I problemi di incastro forniscono un insieme di soggetti (persone) e uno o più insiemi di attributi (uffici, mansioni, giorni, posti) e una lista di vincoli, chiedendo di ricostruire l'abbinamento completo. Sembrano lunghi ma sono tra i quesiti più affidabili: se si applica il metodo, la risposta è certa. Il metodo è la tabella a doppia entrata: si disegna una griglia con i soggetti sulle righe e gli attributi sulle colonne, segnando le esclusioni con una X e le certezze con un segno di spunta. La regola d'oro è: quando si mette una certezza, si escludono immediatamente tutta la riga e tutta la colonna, perché un soggetto ha un solo attributo e un attributo appartiene a un solo soggetto. La seconda regola è che quando in una riga (o colonna) resta una sola casella non barrata, quella è una certezza da spuntare, propagando a sua volta.

Conviene distinguere i vincoli negativi ("Anna non lavora all'anagrafe"), che si scrivono subito come X ed è da questi che si parte, dai vincoli relazionali ("l'addetto al protocollo siede a fianco del responsabile"), che vanno tenuti a parte e usati nell'incrocio finale. Un errore tipico è partire dai vincoli positivi complessi invece che dalle esclusioni secche, che sono gratuite.

Quesito. Anna, Bruno e Carla lavorano, in ordine non noto, agli sportelli anagrafe, protocollo e archivio, e sono di turno, sempre in ordine non noto, al mattino, al pomeriggio e alla sera (uno per turno). Sappiamo che: (1) Anna non lavora al protocollo; (2) chi è di turno al mattino lavora all'archivio; (3) Bruno è di turno al pomeriggio; (4) Carla non lavora all'anagrafe; (5) Anna non è di turno alla sera. Chi è di turno al mattino e che ruolo svolge ciascuno?

Svolgimento. Si costruiscono due griglie, persona-turno e persona-ruolo, partendo sempre dai vincoli che sono già certezze o esclusioni secche. Il vincolo (3) è una certezza: Bruno è al pomeriggio, e per propagazione questo esclude Bruno dal mattino e dalla sera, ed esclude Anna e Carla dal pomeriggio. Restano mattino e sera da assegnare ad Anna e Carla. Interviene il vincolo (5): Anna non è di turno alla sera. Nella riga di Anna resta una sola casella libera, il mattino, che diventa certezza: Anna è di turno al mattino. Propagando, a Carla resta la sera.

Passiamo ai ruoli. Il vincolo (2) va letto con attenzione: dice "chi è di turno al mattino lavora all'archivio", cioè se mattino allora archivio. Sappiamo che Anna è di turno al mattino, quindi per modus ponens Anna lavora all'archivio. Il vincolo (1), che escludeva Anna dal protocollo, è automaticamente rispettato. Restano anagrafe e protocollo per Bruno e Carla; il vincolo (4) esclude Carla dall'anagrafe, quindi Carla lavora al protocollo e a Bruno tocca l'anagrafe. La soluzione è unica: Anna archivio-mattino, Bruno anagrafe-pomeriggio, Carla protocollo-sera. Verifica di chiusura: tutti e cinque i vincoli sono soddisfatti e nessuna casella è rimasta ambigua.

Una nota decisiva sul vincolo (2): "chi è di turno al mattino lavora all'archivio" significa "se mattino allora archivio" e non significa "l'addetto all'archivio è di turno al mattino", che ne sarebbe il converso, non equivalente. La direzione conta: dal turno si deduce il ruolo, non viceversa. Un problema di incastro si sbaglia quasi sempre per un errore di conversione del condizionale, non per un errore di griglia: se al termine dell'analisi restano più scenari aperti, il sospetto corretto è che un vincolo sia stato tradotto nella direzione sbagliata.

Quando i vincoli riguardano posizioni in fila o attorno a un tavolo, la griglia lascia il posto a uno schizzo lineare o circolare. Tre insidie da tenere a mente: "accanto" non specifica il lato, mentre "alla destra" si'; "tra A e B" non dice quale dei due venga prima; nei tavoli rotondi la "destra" va intesa dal punto di vista del soggetto seduto, non dell'osservatore, salvo diversa indicazione del testo. La strategia efficiente è partire dal vincolo più rigido - tipicamente un blocco di persone in ordine fisso - collocarlo, e poi verificare i vincoli residui.

Quesito. Cinque impiegati A, B, C, D, E sono seduti in fila, ciascuno in una postazione diversa numerata da 1 a 5. Sappiamo che: A occupa la prima postazione; B è subito dopo A; E occupa l'ultima postazione; C è seduto tra A e D. In quale ordine sono seduti?

Svolgimento. A è in posizione 1 (dato diretto) e B, "subito dopo A", è in posizione 2. E è in posizione 5 (ultima). Restano le posizioni 3 e 4 per C e D. Il vincolo "C è tra A e D" significa che la posizione di C è compresa tra quella di A (1) e quella di D: se D fosse in posizione 3, non ci sarebbe spazio per C tra 1 e 3 con C diverso da B (già occupata); l'unica collocazione compatibile è D in posizione 4 e C in posizione 3, così C(3) è effettivamente tra A(1) e D(4). L'ordine è A, B, C, D, E. Come nel caso precedente, l'errore più frequente è non aver fissato prima le posizioni certe (A e B in blocco, E all'estremita') e aver tentato di ragionare simultaneamente su tutte le incognite.

I problemi di parentela non richiedono calcoli ma la lettura precisa dei legami, spesso su più generazioni o attraverso pronomi che cambiano punto di vista. Regola pratica: si disegna un piccolo albero genealogico con frecce (genitore-figlio) e si segue passo passo la catena delle relazioni, senza tenere tutto a mente. "Il padre di mio padre" è il nonno paterno; "la sorella di mia madre" è la zia materna; "il figlio di mio zio" è il cugino. La trappola tipica è il cambio di prospettiva nella stessa frase: "il fratello del padre di mia moglie" richiede di seguire tre passaggi in sequenza (padre di mia moglie, poi il fratello di quella persona, cioè lo zio acquisito di chi parla) e un solo errore di direzione fa saltare tutta la catena. Conviene sempre numerare i passaggi e disegnarli, mai risolverli a mente in un colpo solo.

Quesito. Marco è figlio di Luisa. Luisa è sorella di Paolo. Paolo ha un figlio, Davide. Che parentela lega Marco e Davide?

Svolgimento. Si costruisce l'albero passo per passo: Luisa e Paolo sono fratelli (stessa generazione, stessi genitori). Marco è figlio di Luisa, Davide è figlio di Paolo. Due persone i cui genitori sono fratelli tra loro sono cugini: Marco e Davide sono cugini. L'errore più frequente in questa famiglia è fermarsi a meta' catena e rispondere in base al legame più vicino già letto (per esempio confondere "figlio della sorella" con "nipote", che sarebbe corretto solo dal punto di vista di Paolo verso Marco, non dal punto di vista di Davide verso Marco): bisogna sempre chiedersi rispetto a chi si sta definendo la parentela, perché lo stesso legame ha nomi diversi a seconda del punto di osservazione. Paolo è zio di Marco; Marco e Davide, essendo entrambi della generazione successiva rispetto a due fratelli, sono cugini tra loro, non zio e nipote.

Nei problemi di orologi, la difficoltà tipica è calcolare l'angolo tra le lancette. La lancetta dei minuti percorre 360 gradi in 60 minuti, cioè 6 gradi al minuto. La lancetta delle ore percorre 360 gradi in 12 ore, cioè 30 gradi all'ora, più uno spostamento aggiuntivo di 0,5 gradi per ogni minuto trascorso (perché si muove in continuazione, non a scatti).

Quesito. Che angolo formano le lancette di un orologio alle ore 3:15?

Svolgimento. La lancetta dei minuti a 15 minuti è a 15x6=90 gradi dal 12. La lancetta delle ore, alle 3:15, non è esattamente sul 3 (che sarebbe 90 gradi): si è spostata di un quarto d'ora oltre il 3, cioè 3x30 + 15x0,5 = 90+7,5=97,5 gradi. La differenza tra le due posizioni è 97,5-90=7,5 gradi. L'errore tipico è calcolare solo la posizione "sul numero" della lancetta delle ore (90 gradi, come se fossero le 3 in punto) e concludere che l'angolo è zero: si dimentica che la lancetta delle ore si sposta in modo continuo insieme ai minuti.

Nei problemi di calendario, la tecnica è contare i giorni trascorsi e prenderne il resto della divisione per 7, perché i giorni della settimana si ripetono con periodo 7.

Quesito. Se oggi è lunedì, che giorno della settimana sarà tra 17 giorni?

Svolgimento. 17 diviso 7 da' resto 3 (17=2x7+3). Si contano 3 giorni dopo lunedì: martedì, mercoledì, giovedì. La regola generale è sempre questa: si prende il numero di giorni trascorsi, se ne calcola il resto della divisione per 7, e si avanza di quel resto a partire dal giorno di riferimento. L'errore più comune è dimenticare di prendere il resto e contare tutti i 17 giorni uno per uno, il che aumenta enormemente il rischio di sbagliare il conteggio; un secondo errore è sbagliare la divisione stessa, per cui conviene sempre ricontrollare che quoziente x 7 più il resto ridia il numero di partenza (3+2x7=17, corretto).

Questo capitolo non aggiunge contenuti nuovi: raccoglie, nell'ordine in cui si presentano più spesso, gli errori su cui si concentrano le risposte sbagliate. Conviene rileggerlo a ridosso della prova.

Le negazioni. La negazione di "tutti gli A sono B" è "almeno un A non è B", mai "nessun A è B". La negazione di "nessun A è B" è "almeno un A è B". La negazione di "alcuni A sono B" è "nessun A è B". La negazione di "alcuni A non sono B" è "tutti gli A sono B". È la famiglia di errori più frequente in assoluto: quando un quesito chiede la negazione di un enunciato quantificato, conviene scriverla esplicitamente sul foglio prima di guardare le opzioni.

Le conversioni. "Nessun A è B" e "alcuni A sono B" si convertono liberamente scambiando soggetto e predicato. "Tutti gli A sono B" non si converte in "tutti i B sono A" (conversione illecita dell'universale affermativa): ne segue solo "alcuni B sono A", se esiste almeno un A. "Alcuni A non sono B" non si converte affatto.

I condizionali. Solo la contronominale ("se non B allora non A") è equivalente a "se A allora B". L'inverso e il converso non lo sono mai. Le uniche due deduzioni valide sono il modus ponens (A vero implica B) e il modus tollens (B falso implica non-A). Affermare il conseguente (B vero, quindi A) e negare l'antecedente (A falso, quindi B falso) sono i due errori più costruiti nei distrattori.

Le premesse universali senza esistenza garantita. Da due premesse universali (del tipo "nessun A è B" e "tutti i B sono C") la conclusione particolare "alcuni C non sono A" vale solo se la categoria B non è vuota: segue quando il quesito dà per esistente B, non segue quando questo non si può ricavare dal testo. Un "alcuni" inserito nel testo di un quesito quasi mai è decorativo: quasi sempre è l'ingrediente che rende deducibile una conclusione particolare, e la sua assenza è spesso il motivo per cui la risposta corretta è "nulla segue con certezza".

Le percentuali. Le variazioni percentuali si moltiplicano come fattori, non si sommano: un aumento del 20% seguito da uno sconto del 20% da' una perdita netta del 4%, non zero. Punti percentuali e variazione percentuale relativa sono due misure diverse dello stesso cambiamento e vanno lette con attenzione alla domanda posta.

Le medie. La media di due medie non è la loro media semplice se i gruppi hanno numerosità diverse: bisogna sempre tornare alle somme totali. La velocità media su un percorso andata-ritorno a velocità diverse non è la media aritmetica delle due velocità, ma spazio totale diviso tempo totale.

Gli insiemi. Il principio di inclusione-esclusione (unione uguale somma meno intersezione) è lo strumento per tutti i quesiti su due categorie sovrapposte. La sovrapposizione minima tra due percentuali si calcola con somma meno 100, se positiva.

I problemi di incastro. Si parte sempre dalle esclusioni secche (vincoli negativi), mai dai vincoli complessi. La causa più frequente di errore non è una griglia scorretta, ma un vincolo condizionale letto nel verso sbagliato (converso invece dell'implicazione originale).

Il ragionamento critico su brani. Un'affermazione è deducibile da un testo solo se sarebbe impossibile che il testo fosse vero ed essa falsa. Introdurre una causa dove il testo mostra solo una correlazione, una previsione dove il testo descrive il passato, o una generalizzazione oltre il campione osservato: sono i tre modi tipici in cui un distrattore va oltre quanto il testo garantisce. La riformulazione fedele del testo, per quanto banale possa sembrare, è spesso la risposta corretta proprio perché non aggiunge nulla.

La strategia in sede d'esame. Non tutti i quesiti valgono lo stesso tempo: conviene una prima passata veloce per rispondere a cio' che si risolve subito, marcando cio' che richiede lavoro, e una seconda passata dedicata solo ai quesiti marcati. Alcuni criteri di eliminazione rapida sono sempre applicabili: il controllo dell'ordine di grandezza nei quesiti numerici (arrotondare e scartare le opzioni palesemente troppo grandi o piccole), la coppia contraddittoria tra due opzioni (spesso la risposta corretta è una delle due), la diffidenza verso i quantificatori estremi ("sempre", "mai", "tutti", "nessuno") che sono più fragili delle formulazioni caute ("alcuni", "può"), e l'eliminazione immediata delle opzioni palesemente fuori tema.

La strategia in sede d'esame. Nei 7 quesiti di logica la risposta esatta vale 0,75 punti, quella errata toglie 0,25 e quella omessa vale 0: conviene rispondere quando si è scartata almeno un'opzione. Non tutti i quesiti valgono lo stesso tempo:

Infine, la pratica che produce il miglioramento più misurabile è la revisione sistematica degli errori: per ogni quesito sbagliato annotare in una riga la ragione precisa - conversione illecita di un "tutti", affermazione del conseguente, somma invece di prodotto tra percentuali, media di medie non ponderata, scelta dell'opzione plausibile invece di quella deducibile. Dopo poche settimane quella lista si rivela cortissima e ripetitiva: ciascuno sbaglia sempre negli stessi due o tre modi, e conoscerli vale più di qualunque ripasso teorico aggiuntivo.