Riassunto - Topografia - 882 Specialisti Tecnici - RIPAM Coesione

Che cos'è la topografia e perché nasce

La topografia è la disciplina che studia i metodi, gli strumenti e i calcoli con cui si misura una porzione limitata della superficie terrestre per rappresentarla su un piano, in scala, con una precisione nota e dichiarata. La parola viene dal greco topos (luogo) e graphein (descrivere): descrivere un luogo attraverso numeri, cioè attraverso angoli, distanze e dislivelli, e trasformare quei numeri in coordinate e in disegni. Nasce da un bisogno antichissimo, quello di dividere la terra, di tassarla e di costruire su di essa; nella forma moderna nasce quando la geodesia dimostra che la Terra non è piana e che ogni misura deve essere riferita a una superficie matematica ben definita.

L'oggetto della topografia è quindi duplice. Da un lato c'è la misura: l'operatore in campagna osserva angoli azimutali e zenitali, distanze, dislivelli, oppure riceve segnali satellitari, e produce osservazioni affette da errori che vanno trattati con metodo. Dall'altro c'è la rappresentazione: le osservazioni diventano coordinate in un sistema di riferimento, e le coordinate diventano una carta, un piano quotato, un profilo, un modello digitale del terreno. Il ponte tra i due versanti è il calcolo topografico, che trasforma misure grezze in posizioni e ne stima l'incertezza.

Come si colloca rispetto alle discipline vicine

La topografia è figlia della geodesia e madre della cartografia tecnica, e va tenuta distinta da entrambe. La geodesia studia la forma e le dimensioni della Terra nel suo complesso, il suo campo gravitazionale e le superfici di riferimento (geoide, ellissoide) su cui si appoggiano tutte le misure; lavora su distanze di centinaia o migliaia di chilometri, dove la curvatura terrestre domina. La topografia lavora invece nel cosiddetto campo topografico, cioè in un intorno di raggio dell'ordine di 10-15 chilometri (per la planimetria, alle precisioni ordinarie) dentro il quale la superficie di riferimento può essere sostituita dal piano tangente senza che l'errore planimetrico superi la precisione delle misure, mentre per le quote la curvatura conta già a poche centinaia di metri e va sempre corretta. La cartografia, a sua volta, si occupa di come proiettare la superficie curva sul piano della carta (le rappresentazioni conformi, equivalenti, afilattiche) e di come organizzare la carta in fogli, scale e simboli: la topografia le fornisce i punti, la cartografia decide come disegnarli.

Accanto a queste ci sono discipline che condividono strumenti e finalità. La fotogrammetria e il telerilevamento ricavano coordinate da immagini (aeree, satellitari, da drone) anziché da misure dirette; il laser scanner terrestre e il LiDAR aereo producono nuvole di punti che la topografia inquadra nei sistemi di riferimento. Il catasto usa il rilievo topografico per aggiornare le mappe delle particelle: i punti fiduciali, il libretto delle misure e la procedura PREGEO sono il punto di incontro tra la topografia e la cartografia catastale. L'estimo, che nel programma è accanto alla topografia, non misura ma valuta: ha bisogno delle superfici e delle consistenze che la topografia fornisce per stimare valori e indennità di esproprio. Infine i Sistemi Informativi Territoriali (GIS) raccolgono la cartografia numerica e i dati topografici in banche dati georeferenziate: la topografia è la sorgente di gran parte di quei dati e ne governa la qualità geometrica.

Chi e che cosa ne sono i protagonisti

Il protagonista concettuale della topografia è il sistema di riferimento. Ogni coordinata ha senso solo rispetto a un datum (una superficie di riferimento orientata in un certo modo) e a una rappresentazione cartografica che porta quel datum sul piano: per questo lo stesso punto fisico può avere coordinate Gauss-Boaga, UTM-ED50 e UTM-ETRF2000 diverse tra loro di decine o centinaia di metri. Il secondo protagonista è il punto, inteso come vertice materializzato sul terreno: i punti trigonometrici della rete geodetica nazionale, i caposaldi di livellazione, le stazioni permanenti GNSS, i punti fiduciali catastali, i picchetti del tracciamento di cantiere. Il terzo protagonista è la misura con il suo errore: la topografia non conosce mai il valore vero di una grandezza, ma solo stime accompagnate da uno scarto quadratico medio, e da questo principio discende tutta la teoria degli errori, la compensazione e il concetto di tolleranza.

Dal lato degli attori istituzionali, in Italia la rete geodetica e la cartografia ufficiale di base sono dell'Istituto Geografico Militare, la cartografia catastale è dell'Agenzia delle Entrate (che ha assorbito l'ex Agenzia del Territorio), le carte tecniche regionali e i database geotopografici sono delle Regioni, e il professionista tecnico (ingegnere, architetto, geometra) esegue rilievi, tracciamenti e atti di aggiornamento. Il funzionario tecnico di un ente locale è, in questa catena, soprattutto il committente e il verificatore: deve saper leggere un rilievo, valutarne la precisione dichiarata, controllare che un progetto stradale sia coerente con la cartografia numerica e con il catasto, e riconoscere quando un'incoerenza tra sistemi di riferimento sta mascherando un errore.

Come la materia entra nella prova e nel lavoro dello Specialista tecnico

Per lo Specialista tecnico che attuerà progetti finanziati dai fondi strutturali 2021-2027 e dal FSC in Basilicata, Calabria, Campania, Molise, Puglia, Sardegna e Sicilia, la topografia è una competenza quotidiana anche se raramente eseguirà di persona il rilievo. Un Comune che progetta una strada di collegamento a un'area industriale deve disporre di un rilievo plano-altimetrico, di un profilo longitudinale e di sezioni trasversali per calcolare i volumi di sterro e riporto; una Provincia che espropria le aree per una pista ciclabile deve incrociare il rilievo con la mappa catastale e i punti fiduciali; una Regione che finanzia la digitalizzazione dei dati territoriali deve conoscere il sistema di riferimento nazionale ETRF2000 e le specifiche dei database geotopografici. In tutti questi casi il funzionario deve verificare la coerenza dei sistemi di riferimento, la precisione delle quote e la correttezza dei calcoli di aree e volumi che stanno alla base delle contabilità dei lavori.

Nella prova scritta la materia si presenta come quesiti a risposta multipla di tipo definitorio e concettuale: la banca dati chiede con grande frequenza quale definizione descrive correttamente un concetto, quale caratteristica distingue uno strumento o un metodo da un altro, quale funzione svolge un elemento, quale relazione lega due grandezze. I temi più battuti sono i sistemi di riferimento, il rilievo con stazione totale e GNSS, la livellazione geometrica e trigonometrica, le curve di livello e i modelli digitali del terreno, i profili e le sezioni delle infrastrutture viarie, la cartografia catastale con i punti fiduciali, il calcolo di aree e volumi, la teoria degli errori con il metodo dei minimi quadrati e i Sistemi Informativi Territoriali. Il quiz raramente chiede di svolgere un calcolo lungo in sessanta minuti; chiede piuttosto di sapere quale formula si applica, quale errore viene eliminato da un certo procedimento, quale grandezza resta invariata in una rappresentazione. È esattamente su queste distinzioni che sono costruite le pagine seguenti, con una sezione dedicata alla trappola del quiz per ogni argomento.

La trappola del quiz. La prima trappola è confondere la topografia con la geodesia e con la cartografia. Il quiz propone spesso come definizione di topografia frasi che parlano della forma della Terra o del campo gravitazionale: quelle sono definizioni di geodesia. Oppure propone frasi che parlano della proiezione della superficie curva sul piano: quelle descrivono la cartografia. La topografia è misura e rappresentazione di porzioni limitate di superficie, nel campo topografico, con precisione nota. Una seconda trappola riguarda il campo topografico: non è una zona in cui la curvatura terrestre non esiste, ma una zona in cui è trascurabile per la planimetria e non per l'altimetria; la differenza tra le due affermazioni decide spesso la risposta esatta.

Geoide ed ellissoide: due superfici per due funzioni

Ogni misura topografica ha bisogno di una superficie di riferimento. La superficie fisica della Terra, con i suoi rilievi, non serve allo scopo perché è irregolare e non descrivibile con equazioni. La geodesia introduce allora due superfici. La prima è il geoide, definito come la superficie equipotenziale del campo della gravità terrestre che coincide con il livello medio dei mari, idealmente prolungata sotto i continenti. Il geoide ha una proprietà fisica decisiva: in ogni suo punto è perpendicolare alla direzione della gravità, cioè alla verticale materializzata dal filo a piombo e dalla bolla degli strumenti. Per questo tutte le misure che dipendono dalla gravità, e in particolare le quote ottenute per livellazione, sono naturalmente riferite al geoide. Il suo difetto è che, dipendendo dalla distribuzione delle masse, è ondulato e non ha un'espressione matematica chiusa.

La seconda superficie è l'ellissoide di rotazione, cioè l'ellissoide che si ottiene facendo ruotare un'ellisse attorno al suo asse minore, coincidente con l'asse polare terrestre. È definito da due soli parametri: il semiasse maggiore a e lo schiacciamento f = (a − b)/a, oppure il semiasse minore b o l'eccentricità. È una superficie puramente geometrica, su cui è possibile fare calcoli, ed è quindi la base delle coordinate geografiche e delle rappresentazioni cartografiche. In ogni punto si definisce la normale all'ellissoide, che in generale non coincide con la verticale: l'angolo tra normale e verticale è la deviazione della verticale, piccola, di regola di pochi secondi d'arco ma che nelle zone montuose può raggiungere qualche decina di secondi, e comunque mai nulla. La distanza fra le due superfici, misurata lungo la normale, è l'ondulazione del geoide N, che in Italia vale diverse decine di metri rispetto all'ellissoide geocentrico WGS84.

Ellissoidi diversi sono stati adottati nel tempo: l'ellissoide internazionale di Hayford del 1924 (semiasse maggiore 6.378.388 m, schiacciamento 1/297) e il WGS84 (semiasse maggiore 6.378.137 m, schiacciamento 1/298,257). Il primo è un ellissoide locale, orientato per adattarsi bene al geoide in una regione; il secondo è geocentrico, con il centro nel baricentro terrestre, e vale per l'intero pianeta.

La trappola del quiz. Il quiz scambia sistematicamente le proprietà delle due superfici: attribuisce all'ellissoide la coincidenza con il livello medio del mare o la perpendicolarità alla gravità, oppure attribuisce al geoide una definizione matematica. La regola da fissare è semplice: geoide = superficie fisica, equipotenziale, livello medio del mare, riferimento delle quote; ellissoide = superficie matematica, riferimento delle coordinate geografiche e della cartografia. Altra variante: la sfera locale, tangente all'ellissoide in un punto, sostituisce l'ellissoide entro un raggio di circa cento chilometri (campo geodetico), mentre il piano tangente vale nel campo topografico, di raggio dell'ordine di 10-15 chilometri alle precisioni ordinarie, e solo per la planimetria: per l'altimetria la curvatura si corregge sempre.

Il datum e il concetto di sistema di riferimento

Scegliere un ellissoide non basta: occorre anche dire come è collocato e orientato rispetto alla Terra. Un datum geodetico è l'insieme dell'ellissoide e dei parametri che lo posizionano e lo orientano, materializzato da una rete di punti con coordinate note. I datum classici sono orientati in un punto fondamentale, dove si impone che la normale all'ellissoide coincida con la verticale e che l'ondulazione sia nulla: da quel punto in poi l'ellissoide si scosta progressivamente dal geoide. I datum moderni, satellitari, sono geocentrici e definiti dalle coordinate delle stazioni permanenti. Il sistema di riferimento è la definizione teorica; la sua realizzazione pratica attraverso una rete di punti misurati è il frame (il reference frame). ETRS89 è il sistema, ETRF2000 è una sua realizzazione.

In Italia convivono tre datum, e la loro conoscenza è uno dei temi più richiesti nella prova. Roma40 usa l'ellissoide internazionale di Hayford orientato a Roma Monte Mario nel 1940; le longitudini sono contate dal meridiano di Monte Mario e la rappresentazione associata è quella di Gauss-Boaga. ED50 (European Datum 1950) usa lo stesso ellissoide internazionale ma orientato a Potsdam, con longitudini contate da Greenwich, e la rappresentazione associata è l'UTM: è il datum della cartografia IGM del secondo dopoguerra e della squadratura chilometrica di molte carte tecniche regionali. WGS84 è il datum geocentrico del sistema GPS. ETRS89 non è una semplice versione europea di WGS84 ma un sistema distinto: coincide con il sistema globale (ITRS, di cui il WGS84 è in pratica una realizzazione) all'epoca 1989.0 ed è solidale con la placca eurasiatica, dalla quale il sistema globale si allontana lentamente, di pochi centimetri all'anno per la deriva della placca. Per gli usi tecnici ordinari i due sistemi si considerano coincidenti, ma non sono la stessa cosa, e nei documenti meno recenti l'etichetta WGS84 apposta a dati in realtà riferiti a ETRS89 è un'imprecisione diffusa. In Italia ETRS89 è realizzato come ETRF2000 all'epoca 2008.0 attraverso la Rete Dinamica Nazionale (RDN) di stazioni permanenti GNSS gestita dall'Istituto Geografico Militare. Con il decreto 10 novembre 2011 recante l'adozione del Sistema di riferimento geodetico nazionale (emanato nell'ambito della Presidenza del Consiglio dei ministri e comunemente citato come DPCM 10 novembre 2011) ETRF2000 è stato adottato come sistema di riferimento geodetico nazionale, cui vanno riferiti stazioni permanenti, cartografia, immagini aeree e satellitari e ogni documento georeferenziato delle pubbliche amministrazioni; lo stesso decreto detta anche le regole tecniche per le reti di stazioni permanenti che offrono servizi di posizionamento in tempo reale. Va tenuto presente che nella stessa data, e sullo stesso supplemento ordinario della Gazzetta Ufficiale del 27 febbraio 2012, sono stati pubblicati altri decreti distinti con oggetti diversi: uno sulle regole tecniche per le specifiche di contenuto dei database geotopografici e uno sulle regole tecniche del Repertorio Nazionale dei Dati Territoriali. Il decreto sul datum non contiene le specifiche dei database: sono tre atti, non uno.

Il passaggio da un datum all'altro non è una semplice traslazione: le differenze di coordinate sono variabili sul territorio, mai costanti e mai trascurabili, e a seconda della coppia di datum e del luogo vanno dalle decine fino ad alcune centinaia di metri. La conversione rigorosa si fa con i grigliati distribuiti dall'IGM, che forniscono le differenze punto per punto, oppure con trasformazioni a sette parametri (tre traslazioni, tre rotazioni, un fattore di scala) valide localmente.

Esempio per l'ente locale: un Comune della Calabria che finanzia con il FSC la messa in sicurezza di una strada dispone di un rilievo GNSS in ETRF2000, della carta tecnica regionale in ED50-UTM e delle mappe catastali in Cassini-Soldner o Gauss-Boaga. Se il funzionario sovrappone i tre livelli senza trasformarli, la strada appare spostata di decine o centinaia di metri rispetto alle particelle da espropriare. L'errore non è nel rilievo, ma nella mancata trasformazione di datum.

La trappola del quiz. Le domande associano un datum alla rappresentazione o all'ellissoide sbagliati. Va memorizzata la tripla corretta: Roma40, Hayford, Gauss-Boaga, origine Monte Mario; ED50, Hayford, UTM, origine Greenwich; WGS84/ETRF2000, ellissoide geocentrico, UTM, sistema nazionale attuale. Il quiz chiede anche se la differenza tra datum sia costante: non lo è, varia da luogo a luogo, e non è di pochi metri. Attenzione alla differenza tra sistema di riferimento (definizione teorica) e sua realizzazione (rete di punti): ETRS89 e ETRF2000 non sono sinonimi, e nemmeno ETRS89 e WGS84 lo sono in senso stretto. Infine il quiz attribuisce al decreto sul sistema geodetico nazionale anche le specifiche dei database geotopografici: sono decreti diversi, della stessa data.

Le reti geodetiche nazionali

Un datum vive nei punti che lo materializzano. La rete classica dell'IGM è organizzata in ordini gerarchici: i vertici trigonometrici del primo ordine, distanti decine di chilometri, misurati con triangolazione, costituiscono l'ossatura; gli ordini inferiori raffittiscono la rete fino a pochi chilometri, per l'appoggio dei rilievi locali. La rete IGM95 è la prima rete nazionale GPS, misurata negli anni novanta con maglia di circa venti chilometri, con coordinate poi ricalcolate in ETRF2000; la Rete Dinamica Nazionale di stazioni permanenti GNSS definisce oggi il frame. Per l'altimetria esiste la rete di livellazione di alta precisione, con quote riferite al mareografo di Genova per la penisola, a Catania per la Sicilia e a Cagliari per la Sardegna: tre origini distinte, per cui le quote delle isole non sono rigorosamente omogenee con quelle continentali.

La trappola del quiz. Il quiz contrappone rete planimetrica e rete altimetrica come se fossero una cosa sola. I vertici trigonometrici hanno coordinate planimetriche precise e quote di qualità inferiore; i caposaldi di livellazione hanno quote precise e planimetria approssimata. Un rilievo che deve appoggiarsi in quota si aggancia ai caposaldi, non ai trigonometrici. Altra trappola: IGM95 è una rete GPS, non una rete di triangolazione classica.

Quote ortometriche e quote ellissoidiche

La quota è la grandezza in cui la differenza tra le due superfici di riferimento diventa concreta. La quota ortometrica H è la distanza di un punto dal geoide misurata lungo la linea di forza della gravità: è la quota sul livello medio del mare, quella che la livellazione geometrica fornisce e che compare in tutte le carte, nei progetti e nei capitolati. La quota ellissoidica h è la distanza del punto dall'ellissoide lungo la normale: è la quota che il ricevitore GNSS misura direttamente, perché il sistema satellitare conosce solo geometria, non gravità. Le due sono legate dalla relazione fondamentale h = H + N, dove N è l'ondulazione del geoide; in forma equivalente H = h − N. Poiché N varia nello spazio in modo lento ma non trascurabile, per trasformare quote GNSS in quote ortometriche occorre un modello di geoide, che in Italia è fornito dall'IGM tramite i grigliati (il modello ITALGEO e i suoi aggiornamenti).

Esempio per l'ente locale: una Provincia della Sardegna rileva con GNSS RTK il tracciato di una condotta fognaria finanziata dal programma di coesione. Le quote grezze del ricevitore sono ellissoidiche; se il progettista le usa come fossero ortometriche, la pendenza della condotta sembra corretta in termini relativi, ma le quote assolute differiscono di decine di metri da quelle dei caposaldi comunali e da quelle del depuratore già costruito. Per raccordare i due sistemi si applica il modello di geoide oppure si esegue una livellazione geometrica di collegamento a un caposaldo.

La trappola del quiz. La formula viene proposta con i segni invertiti (H = h + N) o con le definizioni scambiate. La regola di memoria è che la quota ellissoidica è la somma di ortometrica e ondulazione, e che in Italia N è positiva: il geoide sta sopra l'ellissoide WGS84, quindi la quota ellissoidica di un punto è maggiore della sua quota ortometrica. Un'altra trappola riguarda il dislivello: su distanze brevi il dislivello ellissoidico e quello ortometrico quasi coincidono, perché N varia poco, ma le quote assolute no. Infine il quiz chiede quale strumento fornisce quale quota: livello e livellazione geometrica danno quote ortometriche, il GNSS dà quote ellissoidiche.

Coordinate geografiche, piane e polari

Un sistema di coordinate è la convenzione con cui si assegnano numeri alla posizione di un punto rispetto al datum scelto. Le coordinate geografiche (o ellissoidiche) sono la latitudine φ, angolo tra la normale all'ellissoide nel punto e il piano equatoriale, e la longitudine λ, angolo diedro tra il meridiano del punto e il meridiano origine; con la quota ellissoidica fissano il punto nello spazio. Sono angolari e non permettono calcoli semplici di distanze e aree. Le coordinate cartesiane geocentriche X, Y, Z sono quelle in cui lavorano i ricevitori GNSS: origine nel centro dell'ellissoide, asse Z lungo l'asse polare, asse X verso il meridiano di Greenwich. Le coordinate piane o cartografiche nascono proiettando l'ellissoide sul piano con una rappresentazione; in topografia si indicano come Est e Nord, e su di esse valgono, con le correzioni dovute, le formule della geometria piana.

Le coordinate polari sono il linguaggio naturale del rilievo: un punto è individuato da una stazione, da un azimut e da una distanza. È ciò che misura una stazione totale, e il passaggio a cartesiane avviene con x = x₀ + d·sen θ e y = y₀ + d·cos θ, dove θ è l'azimut contato dal Nord in senso orario. Questa convenzione topografica, seno sull'ascissa e coseno sull'ordinata, è opposta a quella matematica e nasce dal fatto che l'azimut si misura dal Nord. Le stesse formule invertite danno il problema inverso, azimut e distanza da due punti di coordinate note, che è la base del picchettamento per coordinate polari. Gli angoli si esprimono in gradi sessagesimali (angolo giro 360°), gradi centesimali o gon (angolo giro 400 gon, unità abitualmente impostata negli strumenti topografici in uso in Italia) e radianti (2π); un gon vale 0,9 gradi sessagesimali e l'angolo retto vale 100 gon.

La trappola del quiz. Il quiz propone x = d·cos θ come formula topografica: è quella matematica. L'azimut si conta dal Nord in senso orario, da 0 a 400 gon; l'azimut inverso si ottiene con ±200 gon. La latitudine è riferita alla normale all'ellissoide, non alla retta verso il centro della Terra (latitudine geocentrica).

Le rappresentazioni cartografiche e le loro deformazioni

Portare una superficie curva sul piano senza deformarla è impossibile. Le rappresentazioni conformi (isogoniche) conservano gli angoli: una figura piccola mantiene la sua forma e il modulo di deformazione lineare è uguale in tutte le direzioni attorno a un punto, pur variando da punto a punto. Le equivalenti conservano le aree, le equidistanti le lunghezze lungo certe linee, le afilattiche non conservano nulla ma contengono tutte le deformazioni. La cartografia tecnica adotta rappresentazioni conformi, perché gli angoli misurati sul terreno si riportano sulla carta senza correzioni e le forme restano riconoscibili.

La rappresentazione conforme di Gauss è la base di tutta la cartografia ufficiale italiana. Nella sua forma pura è una proiezione cilindrica trasversa con il cilindro tangente lungo un meridiano centrale: quel meridiano è rappresentato come una retta e conserva la propria lunghezza (modulo di deformazione lineare uguale a 1), mentre allontanandosi da esso le lunghezze si dilatano con il quadrato della distanza. Per contenere la deformazione la superficie viene divisa in fusi di 6° di longitudine, ciascuno con il proprio meridiano centrale. Nelle applicazioni pratiche, Gauss-Boaga e UTM, si introduce inoltre un fattore di contrazione pari a 0,9996 applicato al meridiano centrale, che così non è più isometrico: il modulo vale 0,9996 sul meridiano centrale, risale a 1 su due linee poste a circa 180 chilometri da esso e supera di poco l'unità ai bordi del fuso. Geometricamente ciò equivale a sostituire il cilindro tangente con un cilindro secante, che taglia l'ellissoide lungo quelle due linee isometriche: la deformazione massima si ripartisce tra centro e bordi del fuso invece di accumularsi tutta ai bordi. Il Nord del reticolato chilometrico coincide con il Nord geografico solo sul meridiano centrale: l'angolo tra i due è la convergenza del meridiano, da non confondere con la declinazione magnetica, angolo tra Nord geografico e Nord magnetico.

Il sistema Gauss-Boaga applica la rappresentazione di Gauss al datum Roma40: due fusi, Ovest ed Est, con meridiani centrali a 9° e 15° Est di Greenwich, larghi 6° con una sovrapposizione di 30'. Per rendere positive le coordinate Est si aggiunge una falsa origine di 1.500 km nel fuso Ovest e di 2.520 km nel fuso Est: la prima cifra della coordinata Est rivela il fuso. L'UTM (Universal Transverse Mercator) è la versione internazionale: 60 fusi di 6° numerati dall'antimeridiano di Greenwich, falsa origine Est di 500 km, fattore 0,9996, fasce di latitudine indicate con lettere. L'Italia ricade nei fusi 32 (meridiano 9°) e 33 (meridiano 15°), marginalmente nel 34 per l'estremità della Puglia, nelle fasce S e T. Le coordinate UTM possono essere riferite a ED50 o a ETRF2000: stessa struttura, ma valori diversi per il diverso datum, con scostamenti variabili da luogo a luogo che vanno dalle decine fino ad alcune centinaia di metri, mai trascurabili.

Esempio per l'ente locale: la Regione Puglia, nel progettare un'infrastruttura viaria cofinanziata dal FESR nel Salento, si trova al limite tra i fusi 33 e 34: il progettista adotta un unico fuso, prolungando il 33, e lo dichiara in tutti gli elaborati, perché rilievi consegnati in fusi diversi hanno coordinate Est che differiscono di centinaia di chilometri.

La trappola del quiz. Gauss e UTM sono conformi: conservano gli angoli, non le aree né le distanze. Il modulo di deformazione non è costante nel fuso: nella rappresentazione di Gauss pura vale 1 sul meridiano centrale (cilindro tangente), in Gauss-Boaga e UTM vale 0,9996 sul meridiano centrale e 1 sulle due linee a circa 180 km (cilindro secante); il quiz chiede proprio dove il modulo vale 1. False origini: 500 km per UTM, 1.500 e 2.520 km per Gauss-Boaga; 60 fusi UTM contro i due Gauss-Boaga. Convergenza del meridiano (Nord geografico e Nord del reticolato) contro declinazione magnetica (Nord geografico e Nord magnetico).

Cartografia numerica, scala e precisione

La scala è il rapporto tra lunghezza sulla carta e lunghezza sul terreno: a 1:5.000 un centimetro vale 50 metri. Una scala è grande quando il denominatore è piccolo e la carta è dettagliata (1:500, 1:1.000, 1:2.000), piccola quando il denominatore è grande. La cartografia ufficiale di base dell'IGM è alle scale 1:25.000, 1:50.000 e 1:100.000; le carte tecniche regionali (CTR) sono di norma a 1:5.000 e 1:10.000 e sono la base della pianificazione urbanistica; le mappe catastali sono di norma a 1:2.000. La precisione di una carta è legata alla scala dall'errore di graficismo: il tratto più fine distinguibile è di circa 0,2 mm, che a 1:2.000 vale 40 cm e a 1:10.000 vale 2 m; per un progetto esecutivo non basta quindi la CTR, serve un rilievo dedicato. La cartografia numerica conserva questo concetto con la scala nominale: l'ingrandimento a video non aumenta l'accuratezza. Si distingue in raster (immagine a celle, come un'ortofoto) e vettoriale (punti, linee, poligoni con attributi). I database geotopografici, regolati dalle regole tecniche sulle specifiche di contenuto approvate con un apposito decreto 10 novembre 2011 (atto distinto da quello, della stessa data, che adotta il sistema geodetico nazionale, e da quello sul Repertorio Nazionale dei Dati Territoriali), sono l'evoluzione della CTR: non un disegno ma una banca dati in classi di oggetti (edifici, strade, idrografia, orografia) con attributi e relazioni, inquadrata in ETRF2000.

La trappola del quiz. 1:1.000 è una scala grande. L'errore di graficismo si moltiplica per il denominatore della scala. Una carta numerica non è illimitatamente precisa.

Sistemi Informativi Territoriali e GIS

Un Sistema Informativo Territoriale è l'insieme di hardware, software, dati, procedure e persone che consente di acquisire, archiviare, gestire, analizzare e rappresentare dati georeferenziati; il GIS è il software che ne è il cuore. Ciò che distingue un GIS da un CAD è il legame tra geometria e attributi: ogni oggetto ha posizione, forma e una riga in una tabella, e le interrogazioni possono essere spaziali (quali particelle ricadono entro 50 metri dal tracciato) o alfanumeriche. I dati sono organizzati in livelli tematici sovrapponibili perché condividono il sistema di riferimento; il modello vettoriale rappresenta gli oggetti con punti, linee e poligoni, il modello raster con griglie di celle, adatto a fenomeni continui come le quote o le immagini. La topologia è l'insieme delle relazioni spaziali (adiacenza, connessione, contenimento) che il GIS gestisce e il CAD ignora. I metadati descrivono origine, scala, datum, data e qualità dei dati: la Direttiva INSPIRE (2007/2/CE) impone alle amministrazioni di documentare e rendere interoperabili i dati territoriali, e il Repertorio Nazionale dei Dati Territoriali, previsto dal Codice dell'amministrazione digitale, ne è il catalogo italiano.

Esempio per l'ente locale: un Comune della Campania che deve individuare le aree da espropriare per un intervento di rigenerazione urbana finanziato dal programma regionale carica nel GIS il rilievo in ETRF2000, la mappa catastale trasformata nello stesso datum e il piano regolatore; con un'interrogazione spaziale ottiene particelle, superfici da espropriare e destinazione urbanistica, cioè i dati di partenza del piano particellare.

La trappola del quiz. Il CAD gestisce geometrie disegnate, il GIS geometrie georeferenziate con attributi e topologia. Il raster non è meno preciso per natura: la sua risoluzione è la dimensione della cella. I metadati sono la descrizione dei dati, non i dati; INSPIRE è una direttiva sull'infrastruttura dei dati territoriali, non una specifica di rilievo.

Il teodolite e la misura degli angoli

Il teodolite misura angoli azimutali (nel piano orizzontale) e zenitali (nel piano verticale). È costruito attorno a tre assi: l'asse primario, reso verticale con le viti calanti e la livella; l'asse secondario, orizzontale, attorno al quale ruota il cannocchiale; l'asse di collimazione, che individua la linea di mira. Le condizioni di rettifica richiedono che l'asse secondario sia perpendicolare al primario e l'asse di collimazione perpendicolare al secondario. L'angolo azimutale tra due direzioni è la differenza tra le due letture sul cerchio orizzontale e non dipende dallo zero del cerchio. L'angolo zenitale si conta dallo zenit: vale 100 gon per una visuale orizzontale, meno di 100 gon verso l'alto, più di 100 gon verso il basso.

Gli errori residui di rettifica (collimazione, inclinazione dell'asse secondario, eccentricità dell'alidada, errore d'indice del cerchio verticale) si eliminano con il procedimento di misura. La regola di Bessel prescrive di collimare ogni punto con cerchio a sinistra e cerchio a destra e di mediare le letture: nella seconda posizione quegli errori cambiano segno e la media li annulla; per l'angolo zenitale la somma delle due letture coniugate deve dare 400 gon, e lo scarto rivela l'errore d'indice. Ciò che Bessel non elimina è l'errore di verticalità dell'asse primario, che non si inverte ruotando il cannocchiale: il rimedio è la messa in stazione accurata e, negli strumenti moderni, il compensatore elettronico.

Oltre alla regola di Bessel, che tratta gli errori di rettifica, esistono metodi di misura pensati per ridurre gli errori accidentali di collimazione e di lettura e gli errori di graduazione del cerchio. Il metodo della ripetizione, proprio dei teodoliti ripetitori (dotati di un dispositivo che permette di rendere solidale il cerchio all'alidada), consiste nel misurare lo stesso angolo n volte accumulandolo sul cerchio: si collima il primo punto e si legge, si collima il secondo, poi si riporta il cannocchiale sul primo punto trascinando con sé il cerchio senza cambiare la lettura, e si ricollima il secondo; dopo n ripetizioni la lettura finale meno quella iniziale, divisa per n, dà l'angolo con l'errore di lettura ripartito su n misure. Il metodo della reiterazione, proprio dei teodoliti reiteratori e delle stazioni totali, consiste nel misurare l'angolo più volte spostando ogni volta l'origine del cerchio di una frazione dell'angolo giro (per esempio 200/n gon), così che le letture cadano su settori diversi della graduazione: la media delle n misure riduce sia gli errori accidentali sia quelli sistematici di graduazione, perché ogni misura usa tratti diversi del cerchio. Quando da una stazione si devono misurare più direzioni si adotta la reiterazione a strati: uno strato è una serie completa di collimazioni a tutti i punti con cerchio a sinistra e poi con cerchio a destra (il giro d'orizzonte, chiuso ricollimando il punto iniziale per controllare che lo strumento non si sia mosso); lo strato si ripete con il cerchio ruotato e si mediano le direzioni strato per strato, ottenendo gli angoli come differenze di direzioni medie. È il procedimento standard delle reti di inquadramento. La precisione angolare di uno strumento si dichiara come scarto quadratico medio di una direzione misurata nelle due posizioni del cannocchiale: negli strumenti da cantiere è di alcuni milligon (una decina di secondi sessagesimali), nelle stazioni totali correnti di circa 0,3-1,5 mgon (1-5 secondi), nei teodoliti geodetici di pochi decimi di secondo. L'effetto sulle coordinate cresce con la distanza: un errore angolare di 1 mgon produce uno spostamento trasversale di circa 1,6 cm a un chilometro, uno di 1 secondo sessagesimale circa 5 mm. Per questo nel dettaglio a corta distanza pesa di più l'errore di collimazione sul prisma, mentre nell'inquadramento su lunghe distanze domina la precisione angolare dello strumento.

La trappola del quiz. Bessel elimina collimazione, inclinazione dell'asse secondario ed eccentricità, non la verticalità dell'asse primario. L'angolo zenitale è contato dallo zenit: una visuale orizzontale dà 100 gon, non 0. L'angolo azimutale è una differenza di letture, non una lettura assoluta. Ripetizione: accumula l'angolo sul cerchio (teodoliti ripetitori); reiterazione: sposta l'origine del cerchio e media le misure (reiteratori e stazioni totali); a strati: giri d'orizzonte ripetuti con cerchio ruotato. Il quiz scambia i due nomi o attribuisce alla reiterazione l'accumulo dell'angolo. La precisione angolare si dichiara come sqm di una direzione, e il suo effetto in metri cresce con la distanza.

Il distanziometro e la misura delle distanze

La misura diretta con nastri e cordelle, oggi limitata al dettaglio e ai controlli di cantiere, è affetta da errori sistematici di tensione, temperatura, catenaria e non allineamento, riducibili con correzioni. La misura ottica con diastimometro e stadia (D = K·s·sen²z, con K costante diastimometrica pari di norma a 100 e s intervallo di stadia) è il fondamento della celerimensura classica. La misura elettronica avviene con il distanziometro elettro-ottico (EDM), integrato nella stazione totale: un'onda infrarossa o laser viene inviata a un prisma riflettore e lo strumento misura il tempo di volo (metodo a impulsi) oppure lo sfasamento tra onda emessa e ricevuta (metodo a misura di fase). La precisione si dichiara nella forma ±(a mm + b ppm), un termine costante e uno proporzionale alla distanza: ±(2 mm + 2 ppm) vale ±4 mm a un chilometro. Gli strumenti reflectorless misurano senza prisma su superfici naturali, con portata e precisione minori.

La distanza misurata lungo la visuale è inclinata; quella orizzontale si ottiene come D_o = D_i·sen z (z zenitale). Per portarla sulla carta si applicano ancora la riduzione al livello del mare e il modulo di deformazione lineare della rappresentazione; la costante del prisma e le correzioni atmosferiche vanno impostate nello strumento.

La trappola del quiz. Con z zenitale la distanza orizzontale è D_i·sen z e il dislivello D_i·cos z: il quiz scambia seno e coseno. Nella precisione ±(a + b ppm) il termine in ppm domina sulle lunghe distanze. Misura di fase e misura a impulsi sono entrambe elettroniche: la prima misura uno sfasamento, la seconda un tempo.

La stazione totale e il livello

La stazione totale integra teodolite elettronico, distanziometro ed elaboratore: da una stazione misura angolo azimutale, angolo zenitale e distanza inclinata, cioè le coordinate polari del punto collimato, e le converte in coordinate cartesiane, purché le siano note le coordinate di stazione, l'orientamento su un punto noto e le altezze di strumento e di prisma. È lo strumento della celerimensura moderna e del tracciamento; le versioni motorizzate e robotizzate inseguono il prisma e consentono il rilievo a un solo operatore. Il libretto delle misure è il registro delle osservazioni grezze (stazioni, punti, angoli, distanze, altezze) che permette di verificare e ricalcolare il rilievo, e nel catasto ha una forma codificata.

Il livello è lo strumento della livellazione geometrica: fornisce una linea di mira rigorosamente orizzontale con cui si leggono stadie verticali. Nei livelli a bolla l'orizzontalità è garantita dalla livella torica centrata dall'operatore; negli autolivelli un compensatore a pendolo rende orizzontale l'asse di collimazione dopo un livellamento approssimato con la livella sferica; nei livelli digitali la lettura sulla stadia a codice a barre è automatica. Il livello non misura angoli zenitali né distanze precise: la sua sola funzione è il dislivello per differenza di letture. La precisione si esprime come sqm per chilometro di livellazione in andata e ritorno: decimi di millimetro per l'alta precisione con stadie in invar, alcuni millimetri per i livelli da cantiere. L'errore di srettifica (asse di collimazione non orizzontale) si elimina con la livellazione dal mezzo.

Esempio per l'ente locale: nel cantiere di un asilo nido finanziato con fondi di coesione in un Comune della Basilicata, il direttore dei lavori chiede il tracciamento delle fondazioni con stazione totale dai picchetti d'appoggio e la verifica delle quote dei piani di posa con il livello: per il controllo di cantiere la livellazione geometrica resta il riferimento, mentre le quote trigonometriche della stazione totale sono accettabili solo su distanze brevi.

La trappola del quiz. La stazione totale misura coordinate polari e le trasforma in cartesiane: non misura direttamente coordinate. Il livello non misura angoli: la sua caratteristica distintiva è la linea di mira orizzontale. L'autolivello si distingue per il compensatore, non per la lettura digitale.

Il posizionamento satellitare GNSS

GNSS è il nome collettivo dei sistemi di posizionamento satellitare: GPS statunitense, GLONASS russo, Galileo europeo, BeiDou cinese. Ogni sistema ha tre segmenti: spaziale (la costellazione), di controllo (le stazioni a terra che calcolano orbite e orologi) e utente (i ricevitori). Il principio è la misura della distanza ricevitore-satellite dal tempo di propagazione del segnale; poiché l'orologio del ricevitore non è sincronizzato con quelli dei satelliti, le distanze sono pseudo-distanze e le incognite sono quattro, tre coordinate più l'offset di orologio: servono almeno quattro satelliti. Le coordinate sono cartesiane geocentriche nel datum del sistema (WGS84 per il GPS), trasformabili in geografiche e in quote ellissoidiche.

Le modalità si distinguono per l'osservabile e per la presenza di una stazione di riferimento. Il posizionamento assoluto usa un solo ricevitore e il codice: precisione di alcuni metri, da navigazione. Il posizionamento differenziale (DGPS) aggiunge una stazione di riferimento che trasmette al mobile le correzioni alle pseudo-distanze di codice: precisione submetrica. Il posizionamento relativo di fase usa due ricevitori che osservano gli stessi satelliti e misura la fase dell'onda portante, molto più precisa del codice: le doppie differenze eliminano gli errori di orologio di satelliti e ricevitori, mentre l'ambiguità iniziale di fase (il numero intero di cicli) va risolta. Nel modo statico i ricevitori stazionano a lungo e la soluzione è post-elaborata, con precisione millimetrica o centimetrica: è il metodo delle reti di inquadramento. Nel modo RTK (Real Time Kinematic) la base invia le proprie osservazioni di fase al mobile via radio o rete mobile e il mobile calcola la posizione in tempo reale con precisione centimetrica: è il metodo del dettaglio e del tracciamento. Nel modo NRTK la base singola è sostituita da una rete di stazioni permanenti che genera correzioni virtuali (per esempio una stazione virtuale VRS) per l'area dell'utente. Il PPK è la variante in post-elaborazione, usata anche nella fotogrammetria da drone.

Gli errori del GNSS sono errori di orbita e di orologio dei satelliti, ritardi ionosferico (eliminabile con ricevitori a doppia frequenza) e troposferico, multipath (riflessioni del segnale), cycle slip (perdita del conteggio dei cicli), e la geometria della costellazione riassunta dagli indici DOP: un PDOP basso indica satelliti ben distribuiti e posizione più precisa. Il GNSS non funziona dove il cielo è ostruito, e la sua quota è ellissoidica.

Esempio per l'ente locale: la Provincia di Cosenza rileva in RTK, appoggiandosi alla rete regionale di stazioni permanenti, una strada provinciale da adeguare; nei tratti in galleria e sotto bosco prosegue con stazione totale collegata ai punti GNSS, e converte le quote in ortometriche con il modello di geoide verificandole su un caposaldo. Nella relazione il funzionario cerca datum, modalità di posizionamento, modello di geoide e controlli eseguiti.

La trappola del quiz. Assoluto: un ricevitore, codice, metri. Differenziale: correzioni di codice, submetrico. RTK: fase, tempo reale, centimetri. Statico: fase, post-elaborazione, millimetri. Satelliti minimi: quattro. Quota: ellissoidica. Doppie differenze: eliminano gli errori di orologio. DOP alto: geometria sfavorevole. E la trappola sottile: la precisione centimetrica dell'RTK è relativa alla base e alla rete di riferimento, non un'accuratezza assoluta nel datum se la base è mal georeferenziata.

Laser scanner e rilievo da drone

Il laser scanner terrestre misura milioni di punti per coordinate polari con distanziometro reflectorless e deflessione automatica del raggio, producendo una nuvola di punti; le scansioni da più stazioni si registrano tra loro con target o punti omologhi e si georeferenziano con punti d'appoggio misurati con stazione totale o GNSS. Il LiDAR aereo fa lo stesso dall'alto ed è la fonte principale dei DTM ad alta risoluzione, perché parte degli impulsi attraversa la vegetazione. La fotogrammetria da drone ricava la nuvola da immagini sovrapposte e richiede punti d'appoggio a terra (GCP) misurati con GNSS, salvo drone con ricevitore RTK/PPK a bordo. Il prodotto grezzo è un modello della superficie (DSM), da cui si ricava il DTM filtrando vegetazione ed edifici.

La trappola del quiz. Il laser scanner misura coordinate polari come una stazione totale ma senza collimazione selettiva. La nuvola di punti non è un modello: diventa DTM o DSM solo dopo classificazione e interpolazione. I punti d'appoggio restano necessari per la georeferenziazione nel datum dell'ente.

Dal generale al particolare: punti d'appoggio e rilievo di dettaglio

Il rilievo planimetrico è organizzato secondo un principio gerarchico: si procede dal generale al particolare. Prima si determinano con la massima precisione pochi punti d'appoggio (l'inquadramento), collegati alla rete geodetica nazionale o a punti di coordinate note; poi da questi si rilevano i punti di dettaglio (spigoli di fabbricati, confini, cigli stradali, pozzetti) con precisione minore. La ragione è il controllo della propagazione degli errori: un errore nell'inquadramento si trasmette a tutto il rilievo, un errore nel dettaglio resta locale. L'inquadramento si realizza con intersezioni, poligonali o GNSS statico; il dettaglio per coordinate polari (celerimensura con stazione totale, RTK) o per coordinate ortogonali (allineamenti e squadri).

La trappola del quiz. Si procede dal generale al particolare per controllare la propagazione degli errori, non per velocità o costo. I punti d'appoggio si distinguono dai punti di dettaglio per precisione e funzione, non per lo strumento usato.

Le poligonali

La poligonale è una spezzata di vertici consecutivi in cui si misurano tutti gli angoli ai vertici e tutti i lati. Note le coordinate del primo vertice e l'azimut del primo lato, si calcolano per trasporto gli azimut successivi (azimut del lato seguente = azimut del lato precedente + angolo al vertice ± 200 gon) e poi le coordinate di ogni vertice con le formule delle coordinate polari. La poligonale aperta termina in un punto incognito e non offre controllo. La poligonale chiusa torna sul vertice di partenza: la somma degli angoli interni deve valere (n − 2)·200 gon e la somma delle componenti dei lati sugli assi deve essere nulla, per cui gli scarti sono gli errori di chiusura angolare e lineare. La poligonale vincolata parte da un punto noto e arriva a un altro punto noto con orientamento noto a entrambi gli estremi: è la più affidabile perché controlla anche scala e orientamento, mentre un errore sistematico di scala dei lati non altera la chiusura di una poligonale chiusa.

La compensazione distribuisce gli errori di chiusura, purché rientrino nella tolleranza: l'errore angolare si ripartisce in parti uguali tra gli angoli, l'errore lineare, dopo aver ricalcolato gli azimut con gli angoli compensati, in proporzione alla lunghezza dei lati (metodo di Bowditch). La tolleranza angolare cresce con la radice del numero dei vertici, quella lineare con la radice della lunghezza; se l'errore supera la tolleranza la poligonale si rimisura. La precisione si esprime anche come errore relativo, rapporto tra errore di chiusura lineare e sviluppo totale.

Esempio per l'ente locale: l'Unione dei Comuni di un'area interna del Molise, per una rete di sentieri finanziata con la strategia per le aree interne, fa eseguire una poligonale vincolata tra due vertici GNSS lungo una valle boscosa senza segnale satellitare; il funzionario verifica che gli errori di chiusura siano dichiarati e inferiori alle tolleranze del capitolato.

La trappola del quiz. La somma degli angoli interni è (n − 2)·200 gon; il quiz propone (n + 2) o n·200. La chiusa non controlla la scala, la vincolata sì. Angoli compensati in parti uguali, lati in proporzione: il quiz li scambia. Il trasporto dell'azimut usa ±200 gon, non ±100.

Le intersezioni

Le intersezioni determinano un punto da punti noti misurando soltanto angoli. Nell'intersezione in avanti si fa stazione su due punti noti A e B e si collima il punto incognito P misurando i due angoli: P si ottiene risolvendo il triangolo, utile per punti inaccessibili come la punta di un campanile. Nell'intersezione inversa (problema di Snellius-Pothenot) si fa stazione sul punto incognito e si collimano tre punti noti misurando i due angoli tra le direzioni: serve a inserire una stazione senza occupare i vertici noti, ma diventa indeterminata quando il punto incognito e i tre noti giacciono sulla stessa circonferenza (cerchio pericoloso). Nell'intersezione laterale si fa stazione su uno dei punti noti e sul punto incognito; il problema di Hansen determina due punti incogniti da due punti noti senza stazionare sui noti. La trilaterazione usa solo distanze; l'intersezione multipla, con misure sovrabbondanti, si risolve con i minimi quadrati.

La trappola del quiz. In avanti: stazione sui punti noti, punto incognito non occupato. Inversa: stazione sul punto incognito, tre punti noti, cerchio pericoloso. Il quiz inverte le definizioni o attribuisce il cerchio pericoloso all'intersezione in avanti.

Allineamenti e squadri, celerimensura, picchettamento

Il rilievo per allineamenti e squadri è il metodo delle coordinate ortogonali: si materializza un allineamento tra due punti noti e ogni punto di dettaglio è rilevato con l'ascissa (distanza lungo l'allineamento del piede della perpendicolare) e l'ordinata (lunghezza della perpendicolare, tracciata con lo squadro agrimensorio, strumento a prismi che individua direzioni a 100 gon). È un metodo povero, con nastri e squadro, adatto a piccole estensioni, terreni pianeggianti e ordinate corte, tipico dei rilievi catastali; la precisione decade con la lunghezza delle ordinate. La celerimensura è il rilievo per coordinate polari: da una stazione si misurano per ogni punto angolo azimutale, angolo zenitale e distanza, ottenendo insieme planimetria e altimetria; storicamente con tacheometro e stadia, oggi con stazione totale e con GNSS RTK, che è una celerimensura satellitare. Il picchettamento (o tracciamento) è l'operazione inversa: dati i punti di progetto in coordinate, si calcolano azimut e distanza rispetto a una stazione nota e si materializzano sul terreno con picchetti; richiede sempre un controllo indipendente, misurando le distanze tra i punti picchettati e confrontandole con il progetto.

La trappola del quiz. Allineamenti e squadri sono coordinate ortogonali, celerimensura coordinate polari: il quiz incrocia le attribuzioni. Il picchettamento per coordinate polari richiede coordinate di stazione e orientamento noti; è l'inverso del rilievo, non un rilievo.

Cartografia catastale, punti fiduciali e PREGEO

La cartografia catastale italiana è nata con la formazione del nuovo Catasto terreni geometrico particellare, istituito dalla legge 1 marzo 1886, n. 3682 (legge di perequazione fondiaria, detta legge Messedaglia), con mappe formate tra la fine dell'Ottocento e la prima metà del Novecento, con scopo fiscale: individuare le particelle (porzioni continue di terreno con stesso possessore, qualità e classe) e attribuire loro un reddito. È organizzata per Comune, foglio di mappa e particella, con mappe in scala 1:2.000 (1:1.000 nei centri abitati, 1:4.000 in aree rurali), storicamente disegnate nella rappresentazione di Cassini-Soldner, non conforme ma afilattica, con numerose origini locali e sistemi di coordinate non omogenei; le mappe più recenti sono in Gauss-Boaga e oggi la cartografia catastale è numerica e resa consultabile anche in ETRF2000. La mappa ha valore probatorio limitato ai fini dei confini: è uno strumento fiscale, e nelle controversie prevalgono titoli e stato dei luoghi.

Gli atti di aggiornamento del Catasto terreni sono il tipo di frazionamento, che divide una particella (per una vendita parziale o un esproprio), il tipo mappale, che introduce in mappa un nuovo fabbricato o ne modifica la sagoma, e il tipo particellare, che rileva una particella intera senza modificarla; per il Catasto fabbricati si usa DOCFA. Gli atti geometrici sono redatti con la procedura PREGEO (pretrattamento atti geometrici), che produce il libretto delle misure in righe codificate: stazioni, osservazioni angolari e di distanza, contorni delle particelle, punti fiduciali, osservazioni GNSS. I punti fiduciali (PF) sono particolari topografici stabili, univocamente individuati e geometricamente definiti (spigoli di fabbricati, vertici trigonometrici), istituiti dall'ufficio catastale: possono essere individuati dall'ufficio stesso oppure proposti dal tecnico che redige l'atto di aggiornamento, al quale spetta, quando manca, redigere la monografia (scheda con descrizione, fotografie ed estratto di mappa che consente di ritrovare il punto) e presentarla all'ufficio; l'ufficio li raccoglie e li aggiorna nella Tabella Attuale dei Fiduciali (TAF). I PF costituiscono il riferimento locale dell'aggiornamento: ogni rilievo deve collegarsi ad almeno tre punti fiduciali, in modo che l'oggetto ricada nel triangolo fiduciale, e le mutue distanze tra i PF misurate nel rilievo vengono confrontate con quelle già archiviate dall'ufficio, a controllo della coerenza del rilievo. La mappa è così aggiornata in modo relativo, per coerenza con i punti fiduciali e non con coordinate assolute: questo spiega perché possa presentare scostamenti anche di metri rispetto a un rilievo GNSS.

Esempio per l'ente locale: il Comune di un centro della Sicilia, per una rotatoria finanziata dal FSC, deve espropriare porzioni di quattro particelle. Il tecnico esegue il rilievo con stazione totale appoggiato a tre punti fiduciali, redige il tipo di frazionamento con PREGEO, e le nuove particelle con le loro superfici diventano la base del piano particellare e dell'indennità calcolata con i criteri dell'estimo.

La trappola del quiz. Nuovo fabbricato: tipo mappale; divisione di particella: tipo di frazionamento; il quiz propone gli opposti. Punti fiduciali: almeno tre, riferimento locale relativo, non datum assoluto; istituiti dall'ufficio e raccolti nella TAF, ma proposti anche dal tecnico, che ne redige la monografia mancante: il quiz gioca su chi propone e chi istituisce. Scala tipica 1:2.000, rappresentazione storica Cassini-Soldner, non conforme. PREGEO riguarda gli atti geometrici del Catasto terreni, DOCFA le unità immobiliari del Catasto fabbricati.

Il problema altimetrico: quota, dislivello, sfericità e rifrazione

Il rilievo altimetrico determina le quote dei punti, cioè le distanze dalla superficie di riferimento altimetrica (il geoide, per le quote ortometriche). In pratica non si misurano quote ma dislivelli, e la quota si ottiene sommando il dislivello alla quota di un caposaldo noto. Il dislivello si misura con la livellazione geometrica (livello e stadie rispetto a un piano orizzontale), con la livellazione trigonometrica (angolo zenitale e distanza) e con la livellazione satellitare (GNSS, dislivelli ellissoidici); la livellazione barometrica, basata sulla pressione atmosferica, è imprecisa e disusata.

Il tema che attraversa l'altimetria è la curvatura terrestre. Un piano orizzontale si allontana dalla superficie di riferimento man mano che ci si sposta; l'errore di sfericità, che fa sottostimare la quota del punto lontano, vale D²/(2R), con R di circa 6.371 km: a 100 metri è inferiore al millimetro, a un chilometro è di circa 8 centimetri, a dieci chilometri di circa 8 metri. La rifrazione atmosferica incurva la visuale verso il basso e produce un errore di segno opposto, espresso dal coefficiente K, in Italia di circa 0,13-0,14; la correzione complessiva vale (1 − K)·D²/(2R). L'altimetria non gode quindi del campo topografico valido per la planimetria: la curvatura conta già a poche centinaia di metri.

La trappola del quiz. La sfericità fa apparire il punto lontano più basso, la rifrazione più alto, e la sfericità prevale: la correzione complessiva è positiva. L'errore cresce con il quadrato della distanza: raddoppiando la distanza quadruplica.

La livellazione geometrica dal mezzo e da un estremo

La livellazione geometrica è il metodo più preciso. Nella livellazione dal mezzo il livello si pone a uguale distanza dalle due stadie, sui punti A (indietro) e B (avanti); il dislivello è Δ_AB = l_A − l_B, lettura indietro meno lettura avanti. Poiché le due visuali hanno la stessa lunghezza, l'errore di srettifica (asse di collimazione non orizzontale), la sfericità e la rifrazione producono sulle due letture lo stesso errore, che si elide nella differenza: per questo è il metodo delle reti di livellazione e non richiede di conoscere l'altezza dello strumento. Nella livellazione da un estremo lo strumento si pone sul punto A e si legge la stadia in B: Δ_AB = h_s − l_B, con h_s altezza dello strumento; nessun errore si compensa e il metodo è accettabile solo su distanze brevi. Le linee lunghe si percorrono con la livellazione composta, successione di battute dal mezzo con punti di cambio su piastre, in cui il dislivello totale è la somma delle differenze tra letture indietro e avanti.

La precisione si controlla con la chiusura: una linea in andata e ritorno deve dare dislivelli uguali e opposti, un anello somma nulla; la tolleranza è proporzionale alla radice della lunghezza in chilometri, t = k·√L, con k di pochi millimetri per la livellazione tecnica e dell'ordine di un paio di millimetri per l'alta precisione, e l'errore si compensa in proporzione alle lunghezze dei tratti. Errori da conoscere: non verticalità della stadia (livella sferica sulla stadia), errore di zero della stadia (si annulla con un numero pari di battute), affondamento di treppiede e piastre.

Esempio per l'ente locale: il Comune di Matera, per il collettore fognario di un quartiere finanziato dal programma regionale, fa livellare i pozzetti con livellazione composta dal mezzo in andata e ritorno dal caposaldo comunale; una pendenza di progetto del due per mille non tollera errori di quota di centimetri su cento metri, e il direttore dei lavori controlla l'errore di chiusura contro la tolleranza del capitolato.

La trappola del quiz. Indietro meno avanti, non il contrario. La livellazione dal mezzo elimina srettifica, sfericità e rifrazione, ma non gli errori della stadia né quelli accidentali di lettura. L'altezza dello strumento serve solo da un estremo. La tolleranza cresce con la radice della lunghezza, non linearmente.

La livellazione trigonometrica

La livellazione trigonometrica ricava il dislivello da distanza e angolo zenitale misurati con teodolite o stazione totale: con distanza orizzontale D e angolo zenitale z, Δ = D·cotg z + h_s − h_p + (1 − K)·D²/(2R), con h_s altezza dello strumento, h_p altezza del prisma e l'ultimo termine correzione di sfericità e rifrazione, trascurabile su distanze brevi. Con la distanza inclinata il primo termine diventa D_i·cos z. La precisione è inferiore a quella geometrica, perché dipende dalla precisione angolare (pochi secondi su un chilometro producono centimetri) e dall'incertezza su K, ma il metodo è rapido, funziona su terreni acclivi e lunghe distanze, e la stazione totale lo esegue durante la celerimensura. La livellazione trigonometrica reciproca consiste nel misurare il dislivello nei due sensi, da A verso B e da B verso A. Applicando la formula nei due versi, il termine (1 − K)·D²/(2R) compare identico in entrambi i dislivelli misurati, mentre i dislivelli veri sono uguali e opposti (Δ_AB = −Δ_BA): calcolando la semidifferenza, Δ_AB = (Δ_{AB misurato} − Δ_{BA misurato})/2, quel termine sparisce del tutto. La parte geometrica, cioè la sfericità D²/(2R), si elide comunque, perché è la stessa nei due sensi per costruzione; la parte dovuta alla rifrazione si elide solo se K è davvero lo stesso nelle due direzioni, cioè se le osservazioni sono simultanee, nelle stesse condizioni atmosferiche: per questo la forma completa del metodo è la livellazione reciproca e simultanea. Il dislivello si ottiene allora dai soli angoli zenitali reciproci, Δ_AB = D·(cotg z_A − cotg z_B)/2, a meno delle altezze di strumento e di prisma, senza bisogno di conoscere K né di correggere la sfericità: è il metodo con cui si misurano i dislivelli tra vertici lontani nelle reti classiche.

La trappola del quiz. Con l'angolo zenitale il dislivello è D·cotg z, non D·tg z (la tangente vale con l'angolo di altezza). L'altezza dello strumento si somma, quella del prisma si sottrae. La reciproca simultanea elimina sia la sfericità sia la rifrazione: la sfericità sparisce comunque nella semidifferenza perché è puramente geometrica, la rifrazione sparisce solo se le osservazioni sono simultanee (stesso K nei due sensi). Il quiz propone che il metodo elimini solo la rifrazione o solo la sfericità: entrambe le opzioni sono sbagliate, e la simultaneità serve per la rifrazione.

Piano quotato e curve di livello

Il piano quotato è una planimetria in cui accanto a ogni punto rilevato è scritta la quota: è il prodotto diretto della celerimensura. Le curve di livello (isoipse) uniscono i punti di uguale quota e corrispondono all'intersezione del terreno con piani orizzontali equidistanti; l'equidistanza è la differenza di quota tra due curve consecutive, scelta in relazione a scala e pendenza (25 m sulla carta IGM 1:25.000, 5 m sulla CTR 1:5.000, 1 m o meno nei rilievi di progetto). Le direttrici, più marcate e quotate, sono di norma ogni cinque curve; le ausiliarie, tratteggiate, si aggiungono a metà equidistanza dove il terreno è quasi piatto. Le curve si ricavano dal piano quotato per interpolazione lineare lungo i lati del reticolo, ipotizzando pendenza uniforme tra due punti rilevati: per questo i punti devono cadere sulle linee caratteristiche del terreno (crinali, impluvi, cambi di pendenza). La pendenza tra due curve è p = Δq/D, equidistanza su distanza planimetrica; curve fitte indicano pendenza forte, rade pendenza dolce; la linea di massima pendenza è perpendicolare alle curve; una curva chiusa con quote crescenti verso l'interno è una sommità, decrescenti una conca; le curve a V con vertice verso monte segnalano un impluvio, con vertice verso valle un crinale.

La trappola del quiz. L'equidistanza è un dislivello, non una distanza planimetrica. Curve fitte significano pendenza forte. Le curve di livello non si incrociano mai (si sovrappongono solo in una parete verticale) e non si interrompono. Le direttrici sono ogni cinque curve.

DTM, DEM e DSM

Il modello digitale del terreno (DTM) è la rappresentazione numerica delle quote del suolo nudo, senza vegetazione e manufatti; il modello digitale della superficie (DSM) rappresenta la superficie visibile dall'alto, compresi tetti e chiome; DEM è il termine generico, spesso usato come sinonimo di DTM. La struttura può essere a griglia regolare (GRID, raster in cui ogni cella ha una quota) o a rete di triangoli irregolari (TIN, vettoriale, con triangolazione di Delaunay che conserva linee di rottura e punti caratteristici). Le fonti sono il rilievo celerimetrico, il LiDAR aereo (che fornisce DSM e, dopo la classificazione degli impulsi a terra, DTM), la fotogrammetria e le curve di livello digitalizzate. Dal DTM si derivano curve di livello, pendenze, esposizioni, profili, sezioni, volumi e bacini idrografici: è il dato di base della progettazione stradale e delle analisi idrauliche.

Esempio per l'ente locale: la Città metropolitana di Reggio Calabria, per lo studio di fattibilità di una strada tra due comuni collinari cofinanziata dal FESR, usa il DTM LiDAR regionale a maglia metrica per i profili delle alternative di tracciato e la stima dei volumi; nella fase esecutiva lo sostituirà con un rilievo diretto, perché la precisione del modello regionale basta per confrontare alternative, non per la contabilità dei lavori.

La trappola del quiz. DTM è il suolo nudo, DSM include edifici e vegetazione: la differenza DSM meno DTM è l'altezza degli oggetti. Il TIN è vettoriale, il GRID raster. Il DTM non è una nuvola di punti, ma un modello interpolato da cui derivare prodotti.

Perché una misura non è mai esatta

La teoria degli errori è la parte della topografia che dà senso a tutte le altre: senza di essa non si potrebbe dire se un rilievo è buono, se una chiusura è accettabile, quale precisione dichiarare a un committente. Il punto di partenza è che il valore vero di una grandezza è inconoscibile e che ogni misura è affetta da errori. Si distinguono tre categorie. Gli errori grossolani (o sbagli) sono dovuti a disattenzione, come una lettura errata della stadia o una trascrizione sbagliata: non seguono alcuna legge, si evitano con procedure di controllo e misure ridondanti, e le osservazioni che li contengono vanno scartate, non compensate. Gli errori sistematici derivano da cause note e agiscono sempre nello stesso senso, come il nastro più corto del nominale, la rifrazione, la srettifica del livello, l'errore di collimazione: si eliminano correggendo la misura con un modello (correzione di temperatura, di sfericità) oppure adottando procedure che li fanno cancellare (regola di Bessel, livellazione dal mezzo). Gli errori accidentali (o casuali) sono ciò che resta dopo aver eliminato gli altri: piccoli, di segno variabile, dovuti a innumerevoli cause non controllabili, e sono l'unico tipo di errore cui la statistica si applica. Seguono la distribuzione normale di Gauss: gli errori piccoli sono più frequenti di quelli grandi, errori uguali e di segno contrario sono ugualmente probabili, e la media di molte osservazioni tende al valore più probabile.

Accanto agli errori occorre distinguere precisione e accuratezza. La precisione è la dispersione delle misure attorno al loro valore medio, cioè la ripetibilità: misure vicine tra loro sono precise anche se tutte spostate da un errore sistematico. L'accuratezza è la vicinanza al valore vero e comprende anche l'assenza di errori sistematici. Uno strumento può essere preciso e non accurato; la precisione si stima dalle misure stesse, l'accuratezza richiede un confronto con un riferimento esterno.

La trappola del quiz. Il quiz chiede quale tipo di errore si tratta statisticamente: solo quello accidentale. Chiede quale si elimina con la ripetizione delle misure: quello accidentale si riduce, quello sistematico no, perché si ripete identico. Chiede la differenza tra precisione e accuratezza e propone di usarle come sinonimi. E propone che l'errore grossolano si compensi: no, si elimina scartando la misura.

Media, scarti e scarto quadratico medio

Date n misure dirette della stessa grandezza, eseguite con la stessa precisione, il valore più probabile è la media aritmetica m = Σx_i/n. Gli scarti v_i = x_i − m sono le differenze tra le singole misure e la media, e la loro somma è nulla per costruzione. L'indice di precisione di una singola misura è lo scarto quadratico medio (deviazione standard) σ = √(Σv_i²/(n − 1)): al denominatore compare n − 1 e non n, perché uno dei gradi di libertà è stato speso per stimare la media dagli stessi dati. La precisione della media è migliore di quella della singola misura: lo scarto quadratico medio della media vale σ_m = σ/√n, e decresce con la radice del numero delle osservazioni, non con il numero stesso; per dimezzare l'incertezza occorre quadruplicare le misure. La varianza è il quadrato dello scarto quadratico medio. La tolleranza è il valore massimo ammesso per uno scarto o per un errore di chiusura, e nella pratica si fissa in un multiplo dello scarto quadratico medio: con la distribuzione normale, nell'intervallo di ±σ ricade circa il 68% degli errori, in ±2σ circa il 95%, in ±3σ circa il 99,7%, per cui una tolleranza di due volte e mezzo o tre volte σ lascia fuori solo gli errori grossolani.

Quando le misure hanno precisioni diverse, si introducono i pesi: il peso di una misura è inversamente proporzionale alla sua varianza, p_i = 1/σ_i² (a meno di una costante), e il valore più probabile è la media ponderata m = Σp_ix_i/Σp_i. Una misura più precisa pesa di più; una misura con peso doppio equivale a due misure di peso unitario.

Esempio per l'ente locale: il collaudatore di un ponte finanziato dal FSC in provincia di Salerno confronta le quote di alcuni punti misurate in tre epoche; per decidere se un abbassamento di 4 mm è un cedimento reale o un effetto degli errori di misura deve conoscere lo scarto quadratico medio delle livellazioni: se ogni quota ha σ di 1 mm, la differenza tra due quote ha σ di circa 1,4 mm e un abbassamento di 4 mm supera 2,5 volte σ ed è significativo; se σ fosse di 3 mm non lo sarebbe.

La trappola del quiz. Il denominatore dello scarto quadratico medio è n − 1 per scarti dalla media (formula di Bessel), n solo quando gli errori sono riferiti al valore vero. Lo sqm della media è σ/√n, non σ/n. Il peso è inverso alla varianza, non allo scarto quadratico medio. La percentuale di errori entro ±σ è circa il 68%, entro ±2σ circa il 95%.

La propagazione degli errori

Le grandezze topografiche di interesse (coordinate, aree, dislivelli) non si misurano direttamente ma si calcolano da misure: bisogna quindi sapere come l'errore delle misure si trasferisce al risultato. La legge di propagazione della varianza dice che, per una grandezza z = f(x, y, ...) funzione di misure indipendenti, la varianza di z è σ_z² = (∂f/∂x)²σ_x² + (∂f/∂y)²σ_y² + ...; se le misure sono correlate si aggiungono i termini di covarianza. Ne discendono i casi pratici: per una somma o differenza di misure indipendenti le varianze si sommano (lo sqm della differenza di due quote con lo stesso σ è σ·√2); per una somma di n termini uguali lo sqm cresce con √n, ed è il motivo per cui la tolleranza delle poligonali e delle livellazioni cresce con la radice del numero delle stazioni o della lunghezza; per un prodotto o un quoziente si sommano i quadrati degli errori relativi. Nel dislivello trigonometrico D·cotg z l'errore angolare cresce con la distanza; nella distanza orizzontale D_i·sen z pesa poco per visuali quasi orizzontali, perché la derivata del seno vicino a 100 gon è quasi nulla.

La trappola del quiz. Gli sqm non si sommano: si sommano le varianze e poi si estrae la radice. Il quiz propone che l'errore della somma di due misure con sqm uguali sia 2σ: è σ·√2. Propone che l'errore della media di n misure sia σ/n: è σ/√n. E propone la propagazione lineare (somma degli errori assoluti) come legge: quella è solo il caso limite di errori sistematici tutti dello stesso segno.

Compensazione e metodo dei minimi quadrati

In un rilievo ben fatto si misura più dello stretto necessario: in una poligonale chiusa si misurano tutti gli angoli anche se uno sarebbe deducibile, in una rete si misurano più direzioni e distanze di quante ne servano per calcolare le coordinate. Le misure sovrabbondanti creano ridondanza: forniscono il controllo (rivelano gli errori grossolani) e la possibilità di stimare la precisione, ma producono anche incoerenze, perché le misure affette da errori accidentali non soddisfano esattamente le condizioni geometriche. La compensazione è il procedimento con cui si correggono le misure in modo che le condizioni siano soddisfatte e le correzioni siano le più piccole possibili. Il criterio è il metodo dei minimi quadrati, formulato da Gauss e Legendre: tra tutte le soluzioni possibili si sceglie quella che rende minima la somma dei quadrati degli scarti pesati, Σp_iv_i² = minimo. Sotto l'ipotesi di errori accidentali normali, la soluzione ai minimi quadrati è la più probabile, e la media aritmetica ne è il caso più semplice. Il metodo si applica per osservazioni indirette (ogni misura scritta come funzione delle coordinate incognite) o per osservazioni condizionate (imponendo le equazioni di condizione, come la somma degli angoli). Le compensazioni empiriche delle poligonali sono semplificazioni del metodo rigoroso, accettabili per il dettaglio; reti di inquadramento, rilievi GNSS e reti di livellazione si compensano con software ai minimi quadrati, che forniscono anche la matrice di varianza-covarianza, quindi gli sqm delle coordinate e le ellissi d'errore dei punti.

Esempio per l'ente locale: la Regione Sardegna, per l'inquadramento di un intervento di consolidamento di un versante finanziato dal FSC, fa misurare una rete GNSS con basi ridondanti collegata a tre stazioni permanenti; la compensazione ai minimi quadrati restituisce le coordinate dei punti con i loro sqm, e sarà il riferimento per il monitoraggio degli spostamenti nel tempo. Un funzionario che legge la relazione di compensazione cerca il numero di misure sovrabbondanti, gli scarti residui, il test di chiusura delle basi e le ellissi d'errore.

La trappola del quiz. Il metodo dei minimi quadrati minimizza la somma dei quadrati degli scarti (pesati), non la somma degli scarti né il massimo scarto. Richiede misure sovrabbondanti: senza ridondanza non c'è nulla da compensare. La compensazione non elimina gli errori sistematici, che devono essere tolti prima; se restano, la compensazione li distribuisce e li nasconde. E lo scopo delle misure sovrabbondanti è duplice, controllo e stima della precisione, non soltanto ridurre l'errore.

Il calcolo delle aree

Dalle superfici dipendono le aree da espropriare, le particelle frazionate e la misura dei lavori a superficie. Con le coordinate cartesiane dei vertici si applica la formula di Gauss (o delle coordinate): l'area è la metà del valore assoluto della somma, estesa a tutti i vertici, dei prodotti x_i·(y_i+1 − y_i−1). Il segno dipende dal verso di percorrenza, per cui si prende il valore assoluto; la formula vale per qualunque poligono semplice, anche non convesso, senza scomposizioni. Con i dati di una poligonale chiusa, cioè lunghezze e azimut (angoli di direzione) di tutti i lati, si applica la formula del camminamento, che esprime l'area senza passare per le coordinate dei vertici. Non è una formula indipendente: discende da quella di Gauss sostituendo alle coordinate dei vertici le coordinate parziali di ogni lato, cioè le componenti l_i·sen θ_i e l_i·cos θ_i che si sommano per passare da un vertice al successivo. Sviluppando i prodotti si ottiene che il doppio dell'area è la somma, estesa alle coppie di lati (i, j) con i minore di j, dei prodotti delle due lunghezze per il seno della differenza dei loro azimut: 2A = Σ l_i·l_j·sen(θ_j − θ_i). I termini che contengono l'ultimo lato si annullano a vicenda per la condizione di chiusura, quindi la somma può fermarsi alle coppie che non lo comprendono; il segno dipende dal verso di percorrenza e si prende il valore assoluto. Una verifica su un quadrato di lato unitario percorso con azimut 0, 100, 200 e 300 gon dà 2A = 2, cioè area 1, come dev'essere. La formula è comoda quando la poligonale è stata misurata ma non si vogliono calcolare le coordinate dei vertici, per esempio per una stima rapida della superficie di una particella da espropriare direttamente in campagna; richiede però che gli azimut siano già trasportati e compensati, altrimenti l'errore di chiusura angolare entra direttamente nell'area. Con i dati di una celerimensura si usa la formula per coordinate polari, somma dei triangoli con vertice nella stazione, ciascuno pari a ½·d_i·d_i+1·sen(θ_i+1 − θ_i). Con i soli lati si scompone in triangoli (formula di Erone); sulla carta si usano il planimetro o la digitalizzazione nel GIS, ricordando che un'area misurata sulla carta di Gauss va divisa per il quadrato del modulo di deformazione. La divisione delle aree (staccare da un appezzamento una parte di area assegnata con una dividente uscente da un punto o parallela a un lato) e la rettifica dei confini sono i problemi classici degli espropri e dei frazionamenti.

La trappola del quiz. La formula di Gauss richiede coordinate cartesiane, quella del camminamento lunghezze e azimut dei lati (non gli angoli ai vertici grezzi: gli azimut vanno prima trasportati). Entrambe forniscono il doppio dell'area, e il fattore ½ va sempre applicato. I vertici vanno percorsi in ordine lungo il contorno. Il quiz presenta il camminamento come formula per coordinate polari: no, quella è la somma dei triangoli con vertice in stazione; il camminamento usa i lati della poligonale e deriva dalla formula di Gauss.

Profili longitudinali e sezioni trasversali

Un'opera lineare si rappresenta con planimetria, profilo longitudinale e sezioni trasversali. Il profilo longitudinale è la sezione del terreno e dell'opera con la superficie verticale che contiene l'asse, sviluppata su un piano: in ascissa le distanze progressive lungo l'asse, in ordinata le quote. Poiché i dislivelli sono piccoli rispetto alle lunghezze, le altezze si disegnano con scala maggiore, di norma dieci volte (per esempio 1:1.000 per le lunghezze e 1:100 per le altezze); sotto il profilo un cartiglio riporta progressive, distanze parziali, quote del terreno, quote di progetto, quote rosse, pendenze. La linea del terreno (nera) e quella di progetto (rossa) si confrontano con la quota rossa, differenza tra quota di progetto e quota del terreno: nella convenzione più diffusa una quota rossa positiva indica riporto (rilevato), una negativa sterro (trincea); dove si annulla si ha il punto di passaggio. Le livellette sono i tratti a pendenza costante del progetto, raccordati nei cambi di pendenza da raccordi verticali parabolici.

Le sezioni trasversali sono le sezioni con piani verticali perpendicolari all'asse, tracciate a ogni picchetto del profilo e dove il terreno cambia forma; si disegnano nella stessa scala per lunghezze e altezze (per esempio 1:100 o 1:200), perché servono al calcolo delle aree di sterro e riporto, che scale diverse falserebbero. Una sezione può essere interamente in sterro, in riporto o mista (a mezza costa), e contiene piattaforma, scarpate, fossi ed eventuali opere di sostegno.

La trappola del quiz. Il profilo ha scale diverse per altezze e lunghezze, le sezioni la stessa scala: il quiz inverte. La quota rossa è progetto meno terreno. Le progressive sono distanze dall'origine lungo l'asse, non distanze parziali. Il punto di passaggio è dove sterro e riporto si scambiano.

Il calcolo dei volumi e il movimento terre

I volumi tra due sezioni consecutive si calcolano con la formula delle sezioni ragguagliate, V = L·(A₁ + A₂)/2, con L distanza tra le sezioni e A₁, A₂ aree omologhe (sterro con sterro, riporto con riporto): è esatta solo per sezioni che variano linearmente. La formula del prismoide è più precisa e richiede anche l'area della sezione media A_m: V = L·(A₁ + 4A_m + A₂)/6, cioè la regola di Simpson applicata alle aree. Se una sezione è in sterro e la successiva in riporto, si individua il punto di passaggio e si calcolano separatamente i due volumi a cuneo. Nei lavori a superficie estesa si usa il metodo dei prismi sul reticolo del piano quotato (volume = area di base per la media delle quote rosse ai vertici) oppure la differenza tra DTM di progetto e DTM del terreno.

Lo spianamento è il progetto di un piano, orizzontale o inclinato, che sostituisce il terreno. Se la quota del piano è assegnata, si calcolano le quote rosse ai vertici e da esse i volumi; nello spianamento con piano orizzontale di compenso la quota del piano è quella che rende il volume di sterro uguale a quello di riporto, e per un reticolo di prismi si ottiene come media delle quote dei vertici pesata con le aree di competenza. Il piano inclinato di compenso, con pendenza e direzione assegnate, si fa passare per il baricentro delle quote. Nel progetto stradale il movimento terre si studia con il diagramma delle masse (Bruckner), che riporta a ogni progressiva il volume cumulato di sterro meno riporto: i tratti crescenti sono sterri, quelli decrescenti riporti, massimi e minimi corrispondono ai punti di passaggio, e le intersezioni con una linea orizzontale (linea di compenso) individuano i cantieri di compenso; l'area tra diagramma e linea di compenso misura il lavoro di trasporto, da cui la distanza media di trasporto. Il materiale scavato si rigonfia rispetto al banco e si riduce con il costipamento nel rilevato: nel bilancio vanno applicati i relativi coefficienti.

Esempio per l'ente locale: la Provincia di Foggia, per una variante stradale finanziata dal FESR, calcola i volumi con le sezioni ragguagliate ogni 25 metri e compone il diagramma di Bruckner per far compensare sterri e riporti lungo il tracciato, riducendo il materiale da conferire in discarica; nel computo metrico gli scavi compaiono in banco e i rilevati compattati.

La trappola del quiz. Sezioni ragguagliate: media delle aree per la distanza; prismoide: sezione media pesata quattro e diviso sei. Nello spianamento di compenso lo sterro è uguale al riporto, non nullo. In Bruckner i massimi e i minimi sono i punti di passaggio. Il rigonfiamento aumenta il volume rispetto al banco.

Il tracciato stradale e le curve

In planimetria il tracciato è composto da rettifili, curve circolari e raccordi a raggio variabile (clotoidi); in altimetria da livellette e raccordi verticali. Le norme funzionali e geometriche per la costruzione delle strade (DM 5 novembre 2001) fissano, per ciascuna categoria di strada del Codice della strada (autostrade, extraurbane principali e secondarie, urbane di scorrimento e di quartiere, locali), velocità di progetto, raggi minimi, pendenze massime, larghezze della piattaforma, pendenza trasversale in curva e distanze di visibilità. Nella curva circolare monocentrica, dato l'angolo al centro α e il raggio R, la tangente è T = R·tg(α/2), distanza tra il vertice e i punti di tangenza; lo sviluppo S = R·α con α in radianti; la corda c = 2R·sen(α/2); la bisettrice B = R·(1/cos(α/2) − 1), distanza tra il vertice e il punto medio della curva. Il tracciamento si esegue per coordinate polari dalla stazione totale, per ordinate alla tangente (y = R − √(R² − x²)) o per corde successive. La clotoide è la curva la cui curvatura cresce linearmente con lo sviluppo (R·L = A²): inserita tra rettifilo e curva consente la rotazione progressiva dello sterzo e la realizzazione graduale della sopraelevazione. I raccordi verticali parabolici si inseriscono nei cambi di livelletta; quelli convessi sono condizionati dalla visibilità, quelli concavi dal comfort.

La trappola del quiz. La tangente è R·tg(α/2), non R·tg α; la bisettrice è la distanza vertice-curva, non la corda. Lo sviluppo con α in gradi va convertito in radianti. La clotoide ha curvatura proporzionale allo sviluppo; il raggio costante è della curva circolare. Raggi minimi e pendenze dipendono dalla categoria della strada e dalla velocità di progetto: non c'è un valore unico.

Elementi geometrici della strada e manutenzione

Le norme funzionali e geometriche del DM 5 novembre 2001 non fissano un raggio minimo unico: lo fanno discendere dall'equilibrio di un veicolo in curva. Un veicolo che percorre una curva di raggio R alla velocità V è soggetto alla forza centrifuga, equilibrata da due contributi: la pendenza trasversale della carreggiata inclinata verso l'interno della curva (la sopraelevazione, indicata con i_c in percento, o q = i_c/100 in valore assoluto) e la quota di aderenza trasversale tra pneumatico e pavimentazione f_t. La relazione, che il decreto riporta esplicitamente, è R = V²/[127·(q + f_t)], con V in km/h e R in metri: il raggio cresce con il quadrato della velocità, per cui raddoppiare la velocità di progetto quadruplica il raggio necessario. Il raggio minimo di una categoria si ottiene inserendo il limite inferiore dell'intervallo di velocità di progetto, la pendenza trasversale massima ammessa e il valore massimo impegnabile di f_t, che il decreto tabella in funzione della velocità e che decresce al crescere di questa (per le strade extraurbane va da 0,21 a 40 km/h a 0,09 a 140 km/h; per le strade urbane, che hanno velocità più basse, i valori sono leggermente più alti, da 0,22 a 25 km/h a 0,16 a 80 km/h). La pendenza trasversale minima in rettifilo, necessaria allo smaltimento delle acque, è del 2,5%; in curva la pendenza massima è del 7% per le autostrade e per le strade extraurbane principali, secondarie e locali, del 5% per le urbane di scorrimento e del 3,5% per le strade urbane di quartiere e locali. Il passaggio dalla doppia falda del rettifilo alla falda unica sopraelevata della curva avviene lungo la clotoide, ruotando la piattaforma attorno a un asse: è una delle ragioni per cui il raccordo a raggio variabile è obbligatorio e ha una lunghezza minima.

La sicurezza del tracciato si verifica con le distanze di visibilità. La distanza di visibilità per l'arresto è lo spazio minimo che serve al conducente per fermare il veicolo davanti a un ostacolo imprevisto (spazio percorso nel tempo di reazione più spazio di frenatura, che dipende da velocità, aderenza longitudinale e pendenza) e deve essere assicurata lungo tutto il tracciato, indipendentemente dal tipo di strada e dall'ambito: è la condizione che dimensiona i raccordi verticali convessi (dossi), perché il dosso nasconde la strada oltre la sommità, e che limita la presenza di ostacoli laterali nelle curve. La distanza di visibilità per il sorpasso è la lunghezza necessaria a compiere un sorpasso completo in sicurezza quando può sopraggiungere un veicolo in senso opposto: va garantita solo sulle strade extraurbane a unica carreggiata a doppio senso, per una percentuale conveniente del tracciato (comunque non inferiore al 20%), e nei tratti in cui manca il sorpasso viene interdetto con la segnaletica. I raccordi verticali concavi (sacche) sono invece condizionati dalla visibilità notturna con i proiettori e dal comfort. Le pendenze longitudinali massime delle livellette dipendono dalla categoria: il decreto fissa il 5% per le autostrade extraurbane (6% in ambito urbano), il 6% per le extraurbane principali, il 7% per le extraurbane secondarie, il 6% per le urbane di scorrimento, l'8% per le urbane di quartiere e il 10% per le strade locali, con la possibilità di aumentarle di un punto se una verifica dimostra che lo sviluppo della livelletta non penalizza il deflusso. L'intervallo di velocità di progetto (per esempio da 90 a 140 km/h per le autostrade extraurbane) è il campo di valori entro cui il progettista dimensiona ciascun elemento del tracciato: il limite superiore governa la sezione e i rettifili, il limite inferiore i raggi minimi delle curve.

La progettazione è solo la prima parte della vita di una strada. Il Codice della strada classifica le strade in categorie (autostrade, extraurbane principali, extraurbane secondarie, urbane di scorrimento, urbane di quartiere, locali) e assegna all'ente proprietario (lo Stato attraverso il gestore, la Regione, la Provincia o la Città metropolitana, il Comune) i compiti di manutenzione, gestione e pulizia della strada e delle sue pertinenze, di controllo tecnico dell'efficienza e di apposizione e manutenzione della segnaletica. Lo stesso Codice, all'articolo 13, obbliga gli enti proprietari a istituire e tenere aggiornati la cartografia e il catasto delle strade, secondo le modalità di un apposito decreto ministeriale: il catasto delle strade è l'inventario georeferenziato della rete (asse, sezioni, pertinenze, opere d'arte, segnaletica, pavimentazioni, dati di traffico e di incidentalità) su cui si programmano ispezioni e interventi. La manutenzione si distingue in ordinaria (rappezzi, pulizia di fossi e cunette, ripristino della segnaletica, sfalcio delle scarpate) e straordinaria (rifacimento delle pavimentazioni, consolidamento di scarpate e opere d'arte, adeguamento geometrico), e si programma sulla base di ispezioni che rilevano il degrado delle pavimentazioni (fessurazioni, ormaie, buche, perdita di aderenza) e delle opere. Il legame con la topografia è diretto: il catasto delle strade nasce da un rilievo dell'asse e delle sezioni, spesso eseguito con veicoli ad alto rendimento dotati di GNSS, laser e telecamere, e i suoi dati vanno inquadrati nel sistema di riferimento nazionale.

Esempio per l'ente locale: la Provincia di Potenza, con un finanziamento FSC per la messa in sicurezza di una strada provinciale extraurbana secondaria, verifica sul rilievo che le curve esistenti rispettino il raggio minimo per la velocità di progetto scelta e che la distanza di visibilità per l'arresto sia garantita sui dossi; dove non lo è, progetta la rettifica planimetrica o l'abbassamento del dosso e aggiorna il catasto delle strade con i nuovi elementi geometrici. Il funzionario tecnico controlla che la relazione di progetto dichiari la categoria della strada, l'intervallo di velocità di progetto e le verifiche di visibilità.

La trappola del quiz. Il raggio minimo non è un numero fisso: dipende dalla velocità di progetto (con il quadrato), dalla pendenza trasversale e dall'aderenza, quindi dalla categoria della strada. La sopraelevazione in curva è inclinata verso l'interno e ha un massimo (7% nelle extraurbane), la pendenza in rettifilo è a doppia falda con un minimo del 2,5%. La distanza di visibilità per l'arresto va garantita sempre e ovunque, quella per il sorpasso solo dove il sorpasso è possibile (strade a unica carreggiata a doppio senso). I dossi sono condizionati dalla visibilità, le sacche dal comfort e dalla visibilità notturna. Il catasto delle strade è un obbligo dell'ente proprietario previsto dal Codice della strada, non un registro dell'Agenzia delle Entrate: il quiz gioca sull'omonimia con il catasto dei terreni.

Terre e rocce da scavo

Il materiale movimentato ha anche una disciplina ambientale, il DPR 120/2017, che stabilisce a quali condizioni le terre e rocce da scavo sono gestite come sottoprodotto e non come rifiuto: origine da un'attività di scavo, destinazione a un sito individuato, nessun trattamento diverso dalla normale pratica industriale, rispetto dei requisiti di qualità ambientale verificati con la caratterizzazione. Per i cantieri di piccole dimensioni (fino a 6.000 metri cubi) basta una dichiarazione di utilizzo prima dell'inizio dei lavori; per i cantieri di grandi dimensioni sottoposti a VIA o AIA occorre un piano di utilizzo approvato prima dell'avvio, mentre i cantieri di grandi dimensioni non sottoposti a VIA o AIA tornano al regime della dichiarazione di utilizzo; il riutilizzo nello stesso sito segue una disciplina ulteriormente semplificata. Il criterio che distingue i regimi è dunque doppio, volume prodotto e assoggettamento a VIA o AIA, e il piano di utilizzo è richiesto solo quando concorrono entrambe le condizioni. Il legame con la topografia sta nei volumi di sterro e riporto e nella distanza di trasporto, che alimentano il piano di utilizzo.

La trappola del quiz. Le terre e rocce da scavo non sono automaticamente rifiuti né automaticamente sottoprodotti: lo sono a condizioni precise. La soglia dei cantieri di piccole dimensioni è 6.000 metri cubi. Il piano di utilizzo non dipende dal solo volume: serve per i cantieri di grandi dimensioni sottoposti a VIA o AIA, mentre quelli grandi ma non sottoposti a VIA o AIA usano la dichiarazione di utilizzo. Il riutilizzo nello stesso sito è il caso più semplice, non il più vincolato.

Come leggere un quesito di topografia

I quesiti di questa materia hanno una struttura riconoscibile. La domanda quasi sempre comincia con una locuzione di contesto (nell'ambito della topografia, nell'ambito del posizionamento satellitare, nell'ambito della progettazione delle infrastrutture viarie) e poi chiede una di quattro cose: quale definizione descrive correttamente un concetto, quale caratteristica distingue uno strumento o un metodo da un altro, quale funzione svolge un elemento, quale relazione lega due grandezze. Le opzioni sbagliate sono costruite con tre tecniche: lo scambio (attribuire al geoide la proprietà dell'ellissoide, alla livellazione da un estremo il vantaggio di quella dal mezzo), l'inversione (invertire i termini di una formula o il segno di una convenzione) e l'iperbole (affermare che un metodo elimina tutti gli errori, che una carta numerica è illimitatamente precisa, che l'RTK garantisce accuratezza millimetrica assoluta). Per rispondere conviene isolare il concetto centrale della domanda, ricordare la sua definizione in una frase, e scartare le opzioni in cui compare un assoluto o uno scambio. Con 25 quesiti tecnici e la penalità di 0,25 per errore contro 0,75 per risposta esatta, conviene rispondere quando si è ridotta la scelta a due opzioni, e omettere solo se l'argomento è del tutto ignoto.

Le distinzioni che il quiz confonde

Geoide ed ellissoide: il primo è fisico, equipotenziale, coincide con il livello medio del mare, è perpendicolare alla verticale ed è il riferimento delle quote ortometriche; il secondo è matematico, definito da due parametri, riferimento delle coordinate geografiche e della cartografia. Quota ortometrica e quota ellissoidica: legate da h = H + N; il GNSS fornisce h, la livellazione fornisce H. Datum e rappresentazione: Roma40 va con Gauss-Boaga e l'ellissoide di Hayford orientato a Monte Mario; ED50 con UTM e Hayford orientato a Potsdam; ETRF2000 con UTM ed ellissoide geocentrico, sistema nazionale dal decreto 10 novembre 2011 sull'adozione del sistema geodetico (uno dei tre decreti di quella data: gli altri riguardano i database geotopografici e il Repertorio Nazionale dei Dati Territoriali). ETRS89 e WGS84 non sono sinonimi in senso stretto, anche se coincidono per gli usi ordinari. Conforme ed equivalente: Gauss e UTM conservano gli angoli, non le aree. Convergenza del meridiano e declinazione magnetica: la prima tra Nord geografico e Nord del reticolato, la seconda tra Nord geografico e Nord magnetico. Scala grande e scala piccola: 1:1.000 è grande, 1:100.000 è piccola.

Teodolite, stazione totale e livello: il primo misura angoli, la seconda angoli e distanze e fornisce coordinate polari, il terzo fornisce solo una linea di mira orizzontale per i dislivelli. Regola di Bessel: elimina collimazione, inclinazione dell'asse secondario, eccentricità ed errore d'indice, non la verticalità dell'asse primario. Ripetizione (accumulo dell'angolo sul cerchio) e reiterazione (origine del cerchio spostata e media), a strati per i giri d'orizzonte; 1 mgon vale circa 1,6 cm a un chilometro. Angolo zenitale: contato dallo zenit, 100 gon all'orizzonte. Distanza inclinata e orizzontale: D_o = D_i·sen z. GNSS: assoluto (codice, metri), differenziale (correzioni di codice, submetrico), relativo statico (fase, post-elaborazione, millimetri), RTK (fase, tempo reale, centimetri), NRTK (rete di stazioni permanenti); almeno quattro satelliti; quota ellissoidica.

Poligonale chiusa e vincolata: la prima controlla angoli e chiusura ma non la scala, la seconda controlla tutto. Intersezione in avanti (stazione sui punti noti) e inversa (stazione sul punto incognito, tre punti noti, cerchio pericoloso). Allineamenti e squadri (coordinate ortogonali) e celerimensura (coordinate polari). Livellazione dal mezzo (indietro meno avanti, elimina srettifica, sfericità e rifrazione, non serve l'altezza strumentale) e da un estremo (altezza strumentale meno lettura, nessuna compensazione). Livellazione trigonometrica: Δ = D·cotg z + h_s − h_p più correzione (1 − K)·D²/(2R); reciproca e simultanea: il dislivello è la semidifferenza dei due dislivelli misurati e sparisce sia la sfericità sia la rifrazione (la rifrazione solo grazie alla simultaneità). Curve di livello: equidistanza è un dislivello, curve fitte significano pendenza forte, direttrici ogni cinque. DTM (suolo nudo), DSM (con edifici e vegetazione), TIN (vettoriale), GRID (raster).

Errori: grossolani (si scartano), sistematici (si correggono o si eliminano con la procedura), accidentali (si trattano con la statistica). Precisione (dispersione) e accuratezza (vicinanza al vero). Sqm della singola misura con n − 1 al denominatore, sqm della media σ/√n, pesi inversi alle varianze, varianze che si sommano nella propagazione, minimi quadrati che minimizzano la somma dei quadrati degli scarti pesati e richiedono ridondanza. Aree: formula di Gauss con coordinate cartesiane e fattore ½, camminamento con lunghezze e azimut dei lati (2A = Σ l_i·l_j·sen(θ_j − θ_i), derivata da Gauss). Volumi: sezioni ragguagliate con la media delle aree, prismoide con la sezione media pesata quattro e diviso sei. Profilo con scale diverse, sezioni con la stessa scala; quota rossa = progetto − terreno, positiva riporto, negativa sterro; spianamento di compenso con sterro uguale a riporto; Bruckner con tratti crescenti in sterro. Curva circolare: T = R·tg(α/2), S = R·α in radianti, c = 2R·sen(α/2). Clotoide: R·L = A². Strada: raggio minimo da R = V²/[127·(q + f_t)], pendenza trasversale in curva fino al 7% nelle extraurbane e 2,5% minimo in rettifilo, visibilità per l'arresto sempre e per il sorpasso solo sulle strade a unica carreggiata a doppio senso, catasto delle strade a carico dell'ente proprietario (art. 13 del Codice della strada). Catasto: istituito con la legge 1 marzo 1886, n. 3682, mappa 1:2.000, Cassini-Soldner storica, tre punti fiduciali, tipo mappale per il fabbricato, tipo di frazionamento per la divisione, PREGEO per i terreni, DOCFA per i fabbricati.

Tabella riepilogativa dei numeri, delle soglie e delle formule certe

Strategia per la prova

Sessanta minuti per quaranta quesiti, e i venticinque tecnici coprono anche estimo, catasto, lavori pubblici e altre materie: alla topografia spettano pochi quesiti da 0,75 punti ciascuno. Non conviene tentare calcoli lunghi; conviene conoscere a memoria le formule della tabella e le distinzioni elencate sopra, perché la grande maggioranza dei quesiti è definitoria. Nel dubbio tra due opzioni, si scelga quella senza assoluti (sempre, mai, tutti gli errori) e che rispetta la coppia corretta strumento-grandezza, datum-rappresentazione, metodo-tipo di coordinate. I materiali di questa piattaforma vanno usati in sequenza: prima la dispensa per capire, poi riassunti, mappe e flashcard per memorizzare formule e numeri, infine la banca dati dei quiz con le spiegazioni per riconoscere le trappole; per i riferimenti normativi vale il testo delle norme citate (i tre decreti 10 novembre 2011 sul sistema geodetico nazionale, sui database geotopografici e sul Repertorio Nazionale dei Dati Territoriali; il DM 5 novembre 2001; gli articoli 2, 13 e 14 del Codice della strada; il DPR 120/2017; la Direttiva 2007/2/CE) e il programma d'esame del bando.