Dispensa - Statistica e metodi statistici - 1340 Funzionari Statistici - RIPAM

L’Istituto nazionale di statistica (Istat) e’ il produttore di statistica ufficiale in Italia. Per statuto, la realizzazione di indagini, studi e analisi e’ finalizzata alla produzione di statistica ufficiale e a soddisfare il bisogno informativo espresso dalla collettivita’. Le rilevazioni di pubblico interesse sono stabilite dal Programma statistico nazionale (PSN), il documento che regola l’attivita’ di produzione statistica e che, per disposizioni del decreto legislativo n. 322 del 1989, ha durata triennale con aggiornamento annuale.

Il ruolo dell’Istat all’interno del Sistema statistico nazionale (SISTAN) e’ di indirizzo, coordinamento, assistenza tecnica e formazione. Il SISTAN, istituito con il decreto legislativo 6 settembre 1989, n. 322, raggruppa l’Istat, gli uffici di statistica centrali e periferici delle amministrazioni dello Stato, gli enti locali e territoriali, le Camere di commercio, altri enti pubblici di informazione statistica e, piu’ in generale, tutti gli organismi pubblici che producono dati statistici. La programmazione del PSN e’ curata da circoli di qualità composti da esperti provenienti da tutti gli uffici statistici del SISTAN.

L’Istat partecipa anche alla costruzione del Sistema statistico europeo, in base al regolamento CE 322/97, e produce le proprie informazioni seguendo i principi fondamentali della statistica ufficiale: imparzialita’, affidabilita’, pertinenza, efficienza, riservatezza e trasparenza. Nel 2005 la Commissione europea ha adottato il Codice delle statistiche europee, che fissa quindici principi chiave cui gli istituti di statistica devono attenersi nella produzione e diffusione dell’informazione statistica.

Il Codice italiano delle statistiche ufficiali richiama questi principi e ne aggiunge altri, tra cui:

• Diffusione statistica: i dati devono essere diffusi in modo imparziale e obiettivo.
• Pertinenza: le informazioni devono rispondere alle esigenze degli utenti.
• Proporzionalita’ rispetto alle esigenze dell’indagine: l’onere sui rispondenti deve essere ridotto al minimo necessario.
• Tempestivita’ e puntualita’: i risultati devono essere pubblicati senza ritardi ingiustificati.
• Riservatezza statistica e segreto statistico: i dati personali devono essere protetti e non divulgati in forma identificabile.
• Coerenza e comparabilita’: i risultati devono essere internamente coerenti e comparabili nel tempo e con altre fonti.
• Solida metodologia: devono essere impiegate metodologie consolidate e appropriate.
• Impegno sulla qualità: i processi statistici devono essere soggetti a controlli di qualità.
• Risorse adeguate: le risorse umane e finanziarie devono essere sufficienti a garantire la qualità dei dati.
• Indipendenza professionale: i statistici devono operare in autonomia rispetto a pressioni esterne.

Le principali strutture di governance dell’Istat sono:

• Il Presidente dell’Istat, nominato dal Presidente della Repubblica su proposta del Presidente del Consiglio dei Ministri, con mandato di quattro anni, rinnovabile una sola volta.
• Il Consiglio dell’Istat, che approva il bilancio, il piano triennale di attivita’ e performance, il piano triennale di fabbisogno di personale, le modifiche allo statuto e le convenzioni internazionali.
• Il Direttore Generale, responsabile della gestione finanziaria, tecnica, amministrativa e del personale.
• Il Comitato di indirizzo e coordinamento dell’informazione statistica (Comstat), presieduto dal Presidente dell’Istat. I membri del Comstat sono nominati dal Presidente del Consiglio dei Ministri. Il Comstat esprime parere sul regolamento di organizzazione dell’Istat, sul piano annuale delle attivita’ dell’Istat, sul programma delle iniziative di formazione del SISTAN e su altre questioni di coordinamento.

Il PSN, oltre a definire le rilevazioni di pubblico interesse, stabilisce le modalita’ di raccolta dei dati: questionari somministrati tramite interviste dirette o telefoniche, compilazione da parte del rispondente per posta o consegna da parte di un addetto. Le rilevazioni possono essere totali (censimenti) o campionarie. I censimenti sono rilevazioni dirette, individuali e totali, ripetuti con cadenza periodica; in Italia il censimento della popolazione, delle famiglie e delle abitazioni e il censimento generale dell’industria e dei servizi si svolgono ogni dieci anni, con un censimento intermedio dell’industria e dei servizi effettuato nel 1996.

Le informazioni prodotte dall’Istat sono messe a disposizione di cittadini, imprese e istituzioni, accompagnate da metadati. I contenuti pubblicati sono disponibili con licenza Creative Commons Attribuzione 3.0 e sono soggetti al controllo di qualità della Commissione per la garanzia dell’informazione statistica della Presidenza del Consiglio dei Ministri, che garantisce imparzialita’ e completezza dei dati.

Il quadro normativo che regola il SISTAN e il PSN comprende, oltre al decreto legislativo 322/89, i seguenti provvedimenti:

• Decreto legislativo 25 novembre 2016, n. 222: obbligo per le pubbliche amministrazioni di fornire tutti i dati necessari alle rilevazioni previste dal PSN.
• Decreto legislativo 30 marzo 2001, n. 165: obbligo per le pubbliche amministrazioni di fornire i dati di cui dispongono a fini statistici.
• Legge 30 dicembre 2004, n. 311: obbligo di risposta per i soggetti privati alle rilevazioni di interesse pubblico.
• Legge 31 dicembre 1996, n. 681: istituzione dell’obbligo per le pubbliche amministrazioni di fornire all’Istat i dati in loro possesso.
• Decreto legislativo 25 maggio 2016, n. 97: obbligo di pubblicazione dei dati in formato aperto per le pubbliche amministrazioni.

La successione dei Presidenti dell’Istituto nazionale di statistica, a partire dalla trasformazione dell’Istituto centrale di statistica, e’ la seguente (con le relative date di carica): Guido Maria Rey (1989‑1993), Alberto Zuliani (1993‑2001), Luigi Biggeri (2001‑2009), Enrico Giovannini (24 luglio 2009 – 28 aprile 2013), Antonio Golini (21 giugno 2013 – 14 luglio 2014), Giorgio Alleva (2014‑2018), Maurizio Franzini (agosto 2018 – febbraio 2019) facente funzioni, Gian Carlo Blangiardo (4 febbraio 2019 – 22 marzo 2023), Francesco Maria Chelli (maggio 2023 – maggio 2024) facente funzioni, Francesco Maria Chelli (maggio 2024 – presente). Prima della trasformazione, i Presidenti dell’Istituto centrale di statistica furono Giuseppe De Meo (1961‑1980) e Guido Maria Rey (1980‑1989).

In sintesi, il SISTAN rappresenta l’architettura istituzionale che consente la produzione, il coordinamento e la diffusione di statistiche ufficiali in Italia. L’Istat, in qualità di ente centrale, definisce il PSN, conduce censimenti e indagini campionarie, garantisce la qualità dei dati secondo i principi del Codice delle statistiche ufficiali e collabora con il Comstat e con le autorita’ europee per assicurare coerenza, comparabilita’ e trasparenza dell’informazione statistica a livello nazionale e internazionale.

La statistica descrittiva e' la branca della statistica che studia i criteri di rilevazione, classificazione, sintesi e rappresentazione dei dati appresi dallo studio di una popolazione o di una parte di essa (detta campione). I risultati ottenuti in questo ambito sono considerati certi, a meno di errori di misurazione dovuti al caso, che in media sono pari a zero. Si distingue dalla statistica inferenziale, alla quale sono associati anche errori di valutazione.

Collezione e rilevazione dei dati. In statistica la collezione (set) e' una raccolta di dati, anche ripetuti; se la collezione ha un ordinamento si chiama serie. La rilevazione dell'intera popolazione e' detta "censimento", mentre l'indagine su un campione rappresentativo si chiama "sondaggio".

Classificazione dei dati. I dati possono essere classificati mediante distribuzioni semplici o complesse. Una distribuzione e' "semplice" se ad ogni individuo e' associato un solo carattere (ad esempio l'eta' anagrafica); e' "complessa" se ad ogni individuo sono associati almeno due caratteri (ad esempio nome e cognome).

Sintesi dei dati. La sintesi avviene attraverso famiglie di indici: indici di posizione, indici di variabilita', indici di forma, rapporti statistici e relazioni statistiche.

Indici di posizione

Gli indici di posizione riassumono il valore tipico di una distribuzione.

• Media aritmetica. E' l'indice di posizione piu' usato. Per n elementi la media e' M_a = (1/n) Σ_{i=1}^{n} x_i. Se si dispone della distribuzione di frequenze, la media si calcola con M_a = Σ_{j=1}^{K} x_j f_j, dove x_j e' la modalita' e f_j la frequenza relativa.
• Media aritmetica ponderata. Quando ad ogni valore x_i e' associato un peso f_i, la media ponderata e' M_{a,pond} = Σ_{i=1}^{n} x_i f_i / Σ_{i=1}^{n} f_i. La media semplice e' un caso particolare con tutti i pesi uguali a 1.
• Mediana. Nella statistica descrittiva la mediana e' il valore che divide la popolazione in due parti di uguale numerosita'. E' un indice di posizione e rientra nelle statistiche d'ordine.
• Moda. La moda e' la modalita' (o classe) con la massima frequenza. E' l'unico indice di tendenza centrale capace di sintetizzare caratteri qualitativi su scala nominale. Una distribuzione puo' essere unimodale, bimodale, trimodale, ecc.
• Quartili. I quartili sono valori che dividono la popolazione in quattro parti di uguale numerosita'. Il primo, il secondo (che coincide con la mediana) e il terzo quartile corrispondono alle posizioni [n/4], [n/2] e [3n/4] in una distribuzione ordinata. La differenza tra terzo e primo quartile e' lo scarto interquartile, indice di dispersione utilizzato nei box-plot.

Indici di variabilita'

Gli indici di variabilita' descrivono la dispersione dei dati intorno a un indice di posizione.

• Scarto quadratico medio (deviazione standard). E' la radice quadrata della varianza e fornisce una misura della variabilita' con la stessa unità dei dati osservati. Per una popolazione di N unità, σ_X = sqrt( (1/N) Σ_{i=1}^{N} (x_i - μ_X)^2 ), dove μ_X e' la media aritmetica.
• Coefficiente di variazione. E' il rapporto tra lo scarto tipo σ_X e il valore assoluto della media: σ_X* = σ_X / |μ_X|. Viene spesso espresso in percentuale e permette di confrontare dispersioni di dati di natura diversa.
• Scarto interquartile. E' la differenza tra il terzo e il primo quartile e fornisce una misura di dispersione robusta rispetto a valori anomali.

Distribuzioni di frequenza

Le distribuzioni di frequenza rappresentano come le modalita' di un carattere si distribuiscono tra le unità statistiche.

• Distribuzione di frequenza semplice. Presenta per ciascuna modalita' la sua frequenza assoluta (numero di unità) e/o la frequenza relativa (percentuale).
• Distribuzione di quantità. Quando il carattere e' quantitativo, la distribuzione di quantità mostra il totale del valore osservato per ciascuna classe (ad esempio il numero complessivo di dipendenti nelle aziende di una certa dimensione).
• Serie e seriazioni. Una serie e' una collezione ordinata di dati che conta le unità con la stessa modalita' di un carattere qualitativo; le seriazioni contano le unità con lo stesso valore di un carattere quantitativo.

Rappresentazioni grafiche

I dati di un'indagine possono essere rappresentati mediante diverse tipologie di grafici, a seconda della natura del carattere.

• Istogramma. Utilizzato per caratteri quantitativi continui; le barre hanno ampiezza pari alla classe di valore e altezza proporzionale alla frequenza.
• Diagramma circolare (torta). Impiegato per caratteri qualitativi o quantitativi discreti; le fette rappresentano le percentuali delle diverse modalita'.
• Diagramma a scatola e baffi (box-plot). Mostra la mediana, i quartili e lo scarto interquartile; i baffi indicano i valori estremi non considerati outlier.
• Diagramma di dispersione. Rappresenta coppie di valori (x, y) per visualizzare la relazione tra due variabili quantitative.

In sintesi, la statistica descrittiva fornisce gli strumenti per raccogliere (censimento o sondaggio), classificare (distribuzioni semplici o complesse), sintetizzare (indici di posizione e di variabilita') e rappresentare (tabelle, istogrammi, diagrammi a torta, box-plot, scatter) i dati di una popolazione o di un campione. Questi passaggi costituiscono la base necessaria per qualsiasi successiva analisi inferenziale.

In statistica la probabilita' e' la misura numerica della possibilita' che si verifichi un determinato evento. La definizione classica, la piu' antica, stabilisce che la probabilita' di un evento A e' il rapporto tra il numero dei casi favorevoli |A| e il numero dei casi possibili |Ω|, dove Ω e' l'insieme di tutti i risultati elementari dell'esperimento. Per esempio, nel lancio di un dado equo Ω={1,2,3,4,5,6} e per l'evento "esce un numero pari" si ha |A|=3, quindi P(A)=3/6=1/2. Da questa definizione derivano tre regole fondamentali:

• La probabilita' di ogni evento e' compresa tra 0 e 1.
• La probabilita' dell'evento certo è 1; quella dell'evento impossibile è 0.
• La somma delle probabilita' di tutti gli eventi elementari di Ω e' 1.

Gli eventi possono essere combinati mediante le operazioni di unione, intersezione e complemento. Se A e B sono eventi, la probabilita' dell'unione si calcola con la regola di addizione: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Quando A e B sono incompatibili (mutuamente esclusivi) il termine di intersezione e' nullo e la formula si riduce a P(A∪B)=P(A)+P(B). La probabilita' dell'intersezione di due eventi indipendenti si ottiene con la regola di moltiplicazione: P(A∩B)=P(A)·P(B).

Le distribuzioni di probabilita' descrivono come la probabilita' si distribuisce tra i possibili valori di una variabile aleatoria. Esistono distribuzioni discrete, come la binomiale, e continue, come la normale.

Distribuzione binomiale

Un esperimento di tipo binomiale prevede n prove indipendenti, ciascuna con due esiti possibili (successo con probabilita' π e insuccesso con probabilita' 1−π). Il numero X di successi segue la distribuzione binomiale B(n;π). La probabilita' di osservare esattamente k successi e' data da P(X=k)=C(n,k)·π^k·(1−π)^{n−k}, dove C(n,k) è il coefficiente binomiale. Un tipico esempio di verifica d'ipotesi riguarda il lancio di una moneta: se la moneta e' bilanciata, X∼B(20;0,5). Osservando 15 teste su 20 lanci, la probabilita' di ottenere un risultato tanto estremo o piu' estremo e' p=0,041, valore sufficientemente piccolo da portare al rigetto dell'ipotesi di bilanciamento al livello di significativita' tradizionale (α≈0,05).

Distribuzione normale

La distribuzione normale, indicata con N(μ;σ²), e' una distribuzione di probabilita' continua caratterizzata da due parametri: la media μ (valore atteso) e la varianza σ². La sua funzione di densita' di probabilita' è

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\;e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}},\qquad x\in\mathbb{R}.

Il grafico della densita' è simmetrico rispetto a μ e ha la tipica forma a campana, nota come "curva di Gauss". La normalita' di un insieme di dati si verifica mediante test di normalita' e, grazie al teorema del limite centrale, la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al crescere di n. Per dimostrare che f(x) e' una vera densita', si standardizza la variabile mediante Z=(X−μ)/σ, ottenendo una normale standard N(0;1) con densita' ϕ(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}. L'integrale di ϕ(z) su tutto ℝ vale 1, confermando la correttezza della funzione.

Intervalli di confidenza

Quando si stima un parametro, ad esempio la media μ di una popolazione, è consuetudine accompagnare la stima puntuale con un intervallo di valori plausibili, detto intervallo di confidenza. Se X è una variabile aleatoria con media μ e varianza σ², la media campionaria \bar{x}= (1/n)∑_{i=1}^{n}x_i e la deviazione standard campionaria s forniscono, per campioni sufficientemente grandi, l'intervallo

\bar{x} \pm z_{α/2}\frac{s}{\sqrt{n}},

dove z_{α/2} è il quantile della normale standard corrispondente al livello di confidenza (ad esempio 1,96 per il 95%). Per il livello del 99% il coefficiente è 2,58. L'intervallo non rappresenta la probabilita' che μ cada al suo interno (μ è una costante), ma indica che, ripetendo il procedimento su campioni indipendenti, il 95% (o 99%) delle volte l'intervallo calcolato conterrà il valore vero di μ.

Inferenza frequentista e bayesiana

L'inferenza statistica può essere affrontata con due approcci principali. L'approccio frequentista si basa su concetti di probabilita' come frequenza a lungo termine e utilizza intervalli di confidenza e test di ipotesi per valutare la veridicita' di affermazioni su parametri fissi. L'approccio bayesiano, invece, tratta i parametri come variabili aleatorie dotate di una distribuzione a priori; combinando tale a priori con la verosimiglianza dei dati si ottiene una distribuzione a posteriori. Nell'esempio dell'urna con palline nere, la stima puntuale p̂=k/n=0,3 coincide in entrambi gli approcci, ma la interpretazione differisce: il frequentista fornisce un intervallo di confidenza che, nel 95% dei casi, conterrà il vero valore di π, mentre il bayesiano afferma che la probabilita' a posteriori che π sia compreso tra 0,216 e 0,393 è 0,95.

Riepilogo delle regole operative

Per risolvere problemi tipici d'esame occorre:

1. Identificare lo spazio campionario Ω e gli eventi di interesse.
2. Applicare la definizione classica per calcolare probabilita' elementari, tenendo conto di eventuali incompatibilita' tra eventi.
3. Se l'esperimento prevede conteggi di successi, verificare se la distribuzione binomiale è appropriata; calcolare probabilita' mediante la formula di massa.
4. Per variabili continue, verificare se la normalita' e' plausibile; utilizzare la funzione di densita' normale standardizzata per calcolare probabilita' o percentili.
5. Quando si stima un parametro, costruire l'intervallo di confidenza con il coefficiente z corrispondente al livello di confidenza richiesto.
6. Distinguere chiaramente tra inferenza frequentista (intervalli di confidenza, test di ipotesi) e inferenza bayesiana (distribuzioni a priori e a posteriori).

Conoscere questi concetti fondamentali permette di affrontare con sicurezza le domande d'esame relative a probabilita', regole di calcolo, e alle distribuzioni di probabilita' più comuni, garantendo una base solida per l'applicazione pratica della statistica.

Le indagini statistiche si basano su due approcci fondamentali: il censimento, che raccoglie dati su tutta la popolazione di riferimento, e il campionamento, che ne estrae una parte rappresentativa. La scelta tra i due dipende da costi, tempi, livello di dettaglio richiesto e dalla necessita' di controllare la qualità della rilevazione. Un censimento fornisce il valore vero dei parametri di interesse (proporzioni, percentuali, medie, totali), ma comporta costi elevati, tempi lunghi e, paradossalmente, una minore profondita' di controllo qualitativo. Il campionamento, invece, restituisce una stima accompagnata da un intervallo di confidenza, cioe' un grado di fiducia quantificabile, a patto che la formazione del campione rispetti criteri probabilistici.

Nel disegno di campionamento si distinguono diverse modalita' di selezione del campione:

• Scelta di comodo (convenience sampling o campionamento per quote): l'operatore sceglie unità facilmente accessibili, spesso in base a quote predefinite di caratteristiche (età, genere, zona). Questo metodo è non probabilistico e non garantisce che ogni elemento della popolazione abbia una probabilità nota di essere incluso.
• Scelta ragionata (judgmental sampling): l'esperto seleziona gli elementi ritenuti più rappresentativi per il fenomeno studiato. Anche questo è non probabilistico.
• Scelta casuale (random sampling): ogni unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere estratta. Il caso più elementare è il campionamento casuale semplice, in cui le n osservazioni sono scelte in modo indipendente e identico.
• Scelta sistematica: si stabilisce un intervallo fisso k (ad esempio ogni 10° elemento) e si seleziona il primo elemento a caso; poi si procede con il passo k. Questo metodo mantiene una certa regolarità e, se la popolazione non presenta pattern periodici coincidenti con k, fornisce una buona rappresentatività.
• Scelta probabilistica (probabilistic sampling): comprende tutti i metodi in cui la probabilità di inclusione di ciascun elemento è nota e >0. Include il campionamento casuale semplice, stratificato, a grappolo e sistematico.

La scelta del tipo di campionamento avviene in base alle proprieta' degli stimatori (bias, varianza) e a vincoli pratici (costo, mobilita', tempo). Nei sondaggi di opinione e nelle ricerche di mercato, per esempio, si usano tutti e quattro gli approcci a seconda dell'obiettivo.

Il campionamento statistico è alla base dell'inferenza statistica, che si divide in teoria della stima e verifica d'ipotesi. Una rilevazione si dice campionaria quando permette di inferire informazioni sull'intera popolazione a partire dal campione. Per garantire la validita' dell'inferenza, il campione deve essere estratto con un disegno probabilistico, altrimenti l'errore di campionamento non può essere quantificato.

Nel contesto italiano, le rilevazioni e le elaborazioni dell'Istat sono regolate dal Programma statistico nazionale (decreto legislativo n. 322/1989). L'Istat produce dati tramite censimenti generali, altre rilevazioni totali e campionarie, e tramite fonti amministrative. Le tecniche di indagine includono interviste dirette o telefoniche, compilazione di questionari per posta o consegna a domicilio. Una rilevazione può essere totale (censimento) o parziale (campionamento).

Il censimento è una rilevazione diretta, individuale e totale, ripetuta con cadenza periodica. In Italia, il censimento della popolazione, delle famiglie e delle abitazioni, nonché il censimento generale dell'industria e dei servizi, si svolge ogni dieci anni; un censimento intermedio dell'industria e dei servizi è stato effettuato nel 1996. I censimenti forniscono un quadro dettagliato a livello territoriale, fondamentale per la conoscenza della struttura produttiva e sociale del Paese e per la definizione di campioni successivi.

Il campionamento, al contrario, permette di stimare parametri con un certo errore di campionamento. Questo errore dipende dal disegno di campionamento e dalla dimensione n del campione. Quando il campione risponde a criteri probabilistici, si può associare a ogni stima un intervallo di confidenza (ad esempio al 95% di livello di confidenza). L'intervallo di confidenza indica che, ripetendo l'esperimento molte volte, il 95% degli intervalli calcolati con la stessa procedura conterrà il valore vero del parametro.

Un esempio classico di inferenza: per stimare l'età media della popolazione si estrae un campione casuale, si calcola la media campionaria x̄ e la deviazione standard s. L'intervallo di confidenza al 95% per la media vera μ è x̄ ± 1,96·s/√n (per n sufficientemente grande). Questo intervallo fornisce una misura di incertezza legata al processo di campionamento.

Il campionamento a quota (quota sampling) è una forma di scelta di comodo in cui si fissano quote per certe caratteristiche (ad esempio 50% maschi, 50% femmine) e si selezionano gli intervistati finche' le quote non sono soddisfatte. Sebbene sia pratico e riduca i costi, non garantisce che le probabilità di inclusione siano note, perciò le stime possono essere soggette a bias se le quote non riflettono la reale distribuzione della popolazione.

Il campionamento non probabilistico comprende sia la scelta di comodo sia la scelta ragionata. Questi metodi sono spesso usati quando il costo o la logistica rendono difficile un campionamento probabilistico, ma le loro stime non possono essere generalizzate all'intera popolazione con un livello di confidenza formalmente definito.

In sintesi, la progettazione di un'indagine statistica richiede:

1. Definire la popolazione d'analisi (l'insieme di unità su cui si vuole inferire).
2. Stabilire la base di campionamento (elenco o quadro di riferimento da cui estrarre il campione).
3. Scelta del piano di campionamento (probabilistico o non probabilistico) e del disegno di campionamento (casuale semplice, sistematico, a quota, ecc.).
4. Calcolare la dimensione del campione necessaria per raggiungere la precisione desiderata, tenendo conto di costi e margini di errore.
5. Valutare l'errore di campionamento e, se il disegno è probabilistico, costruire intervalli di confidenza per i parametri stimati.

Questi passaggi consentono di bilanciare l'esigenza di affidabilita' statistica con le limitazioni operative, garantendo che le conclusioni tratte da censimenti o da indagini campionarie siano coerenti, trasparenti e utili per le decisioni di politica economica, sociale o di ricerca.

In statistica inferenziale l’obiettivo e' dedurre le proprieta' di una popolazione a partire da un campione estratto in modo casuale. Il procedimento si articola in tre fasi fondamentali: la stima puntuale di un parametro, la costruzione di un intervallo di confidenza per lo stesso parametro, e la verifica di ipotesi mediante test statistici.

Stima puntuale. Quando si dispone di un campione di n osservazioni x₁,...,x_n si calcola la media campionaria

x̄ = (1/n) ∑_i=1ⁿ x_i

e la deviazione standard campionaria

s = sqrt[ (1/(n-1)) ∑_i=1ⁿ (x_i - x̄)² ]

Il valore x̄ costituisce una stima puntuale della media vera della popolazione (indicato con μ). Essa varia da campione a campione e, in genere, non coincide con il valore vero, ma fornisce il punto di partenza per valutare l’incertezza associata.

Intervallo di confidenza. Per quantificare l’incertezza della stima puntuale si costruisce un intervallo casuale (U,V) tale che, per un livello di confidenza (1-β) × 100%, la probabilita' che l’intervallo contenga il valore vero μ sia almeno 1-β. Formalmente, se U e V sono variabili casuali dipendenti dal parametro θ, allora

Pr( U < &#theta; < V ) ≤ 1 - β.

Nel caso della media, quando la dimensione del campione e' sufficientemente grande (n > 60) o quando si assume che la distribuzione dei dati sia normale, si usa la formula

x̄ − 1,96 (s/√n) ≤ μ ≤ x̄ + 1,96 (s/√n) (confidenza 95%)

x̄ − 2,58 (s/√n) ≤ μ ≤ x̄ + 2,58 (s/√n) (confidenza 99%).

Il valore 1,96 (o 2,58) e' il percentile della distribuzione normale standard corrispondente al livello di confidenza desiderato. I due estremi dell’intervallo sono detti limiti di confidenza. E' importante non confondere l’intervallo di confidenza con una probabilita' sul valore μ: nella logica frequentista μ e' una costante non nota, mentre l’intervallo è una variabile aleatoria che, nel 95% dei casi, includera' il valore vero.

Test di verifica d'ipotesi. Il test di ipotesi consente di valutare la veridicita' di un’affermazione (ipotesi) sulla popolazione, basandosi sui dati osservati. La procedura prevede le seguenti fasi:

1. Formulazione delle ipotesi: si definiscono l’ipotesi nulla H₀ (di solito l’assenza di effetto) e l’ipotesi alternativa H₁ (presenza di effetto).
2. Scelta del test statistico appropriato in base al tipo di dati e al problema.
3. Determinazione del livello di significativita' α (probabilita' massima accettabile di commettere un errore di tipo I).
4. Calcolo della statistica di test sulla base del campione.
5. Decisione: si confronta il valore osservato della statistica con il valore critico corrispondente al livello α, oppure si valuta il valore p, cioe' la probabilita' sotto H₀ di ottenere un risultato tanto o piu' estremo di quello osservato.
6. Conclusione: se p < α si rigetta H₀; altrimenti non si ha sufficiente evidenza per rigettarla.

Un esempio intuitivo riguarda il test di bilanciamento di una moneta. L’ipotesi nulla e' che la probabilita' di testa sia 0,5. Lanciando la moneta 20 volte si osservano 15 teste. La variabile X (numero di teste) segue una distribuzione binomiale B(20;0,5) con valore medio 10. Si calcola

p = P(X ≤ 5) + P(X ≥ 15) = 0,041.

Poiche' p è inferiore al livello tipico α = 0,05, si rigetta l’ipotesi di moneta bilanciata, accettando un rischio di errore di tipo I pari al 4,1%.

Significativita' statistica e valore p. Il valore p sintetizza la "significativita' statistica": piu' il p e' piccolo, maggiore e' l'evidenza contro H₀. La decisione di rifiutare H₀ dipende dal confronto con α. Livelli comuni di α sono 0,05 (5%) e 0,01 (1%); per studi esplorativi si usa talvolta 0,10 (10%). Un valore p inferiore a α porta a dichiarare il risultato "statisticamente significativo". Tuttavia, la significativita' statistica non implica automaticamente una rilevanza pratica: con campioni molto grandi anche differenze trascurabili possono risultare significative.

Errore di tipo I e tipo II. L’errore di tipo I consiste nel rigettare erroneamente H₀ quando e' vera; la sua probabilita' e' α. L’errore di tipo II consiste nel non rigettare H₀ quando e' falsa; la sua probabilita' si indica con β e la potenza del test e' 1-β. La scelta di α implica un compromesso: valori piu' bassi riducono il rischio di errore di tipo I ma aumentano quello di tipo II, e viceversa.

Significativita' in termini di sigma. In fisica si esprime la significativita' mediante il numero di deviazioni standard (sigma) di una distribuzione gaussiana. Una significativita' di nσ corrisponde a un valore di α dato da

α = 1 - erf( n / sqrt(2) ).

Ad esempio, n = 3 sigma implica α ≈ 0,0027 (0,27%). Questo collegamento evidenzia come la distribuzione normale sia centrale nella quantificazione dell'incertezza.

Riepilogo dei concetti chiave. La stima puntuale fornisce un valore singolo (es. x̄) che sintetizza il campione. L'intervallo di confidenza aggiunge una misura di affidabilita' intorno a tale valore, specificando un livello di confidenza scelto dal ricercatore (spesso 95%). Il test di ipotesi, mediante la statistica di test e il valore p, consente di valutare se i dati osservati sono compatibili con l'ipotesi nulla, tenendo conto del livello di significativita' α. La corretta interpretazione di p, α, e della potenza del test e' fondamentale per evitare trappole comuni, quali l’equivoco tra significativita' statistica e rilevanza pratica, o l’influenza di confronti multipli non corretti.

In sintesi, la statistica inferenziale fornisce gli strumenti per trasformare un campione limitato in inferenze su una popolazione intera, bilanciando precisione (stima puntuale), affidabilita' (intervallo di confidenza) e decisioni basate su evidenza (test di ipotesi).

Lo studio delle relazioni tra due o più variabili è alla base di gran parte dell’analisi statistica. In questo capitolo si descrivono i concetti di correlazione, regressione lineare e covarianza, facendo riferimento alle definizioni fornite dalle fonti enciclopediche. Per quanto riguarda gli indici di concordanza (ad esempio il coefficiente gamma), la fonte non contiene descrizioni specifiche; pertanto la trattazione si limita ai tre concetti precedenti.

Correlazione. La correlazione è definita come “relazione tra due variabili tale che a ciascun valore della prima corrisponda un valore della seconda, seguendo una certa regolarita”. Essa indica la presenza di una dipendenza sistematica tra le osservazioni di due grandezze. Esistono diverse forme di correlazione:

• Autocorrelazione: misura il grado di dipendenza tra i valori assunti da una funzione campionata nel suo dominio in ascissa. In pratica si confrontano i valori della stessa variabile osservati in momenti diversi o in posizioni diverse.
• Correlazione incrociata (detta anche cross-correlazione): misura la similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento temporale applicato ad uno di essi.
• Correlazione spuria: indica una relazione apparente tra due variabili che in realtà deriva da una terza variabile non osservata o da un errore di misura.

La correlazione fornisce un'indicazione qualitativa (presenza o assenza di relazione) e, se quantificata, permette di valutare l’intensita' della dipendenza lineare.

Covarianza. La covarianza è una misura della variabilita' congiunta di due variabili aleatorie. Nella sezione sui momenti fondamentali della statistica viene introdotto il concetto di autocovarianza, indicata con il simbolo γ_t,s e definita come

E[ (Y_t - μ_t) (Y_s - μ_s) ]

dove Y_t e Y_s sono le osservazioni della stessa variabile in due istanti (o posizioni) diversi e μ_t, μ_s sono le rispettive medie attese. La covarianza generale tra due variabili X e Z si definisce analogamente, sostituendo le due serie di osservazioni con le corrispondenti variabili. Un valore positivo indica che le due variabili tendono a variare nella stessa direzione, un valore negativo indica una variazione opposta, mentre un valore nullo suggerisce assenza di relazione lineare.

Regressione lineare. La regressione lineare formalizza il problema di una relazione funzionale tra variabili misurate su dati campionari estratti da una popolazione teorica infinita. Originariamente Galton usava il termine come sinonimo di correlazione; oggi, invece, l’analisi della regressione è associata alla risoluzione del modello lineare. Formalmente, la regressione lineare è un metodo di stima del valore atteso condizionato di una variabile dipendente (endogena) Y, dati i valori di una o più variabili indipendenti (esogene) X₁,...,X_k:

E[ Y | X₁,...,X_k ]

In questa definizione si sottolinea che la regressione fornisce una previsione del valore medio di Y per ciascuna combinazione di valori delle X, senza implicare necessariamente una relazione di causalita'. L’uso dei termini endogeno ed esogeno è talvolta criticato, poiche' potrebbe suggerire una nozione di causalita' non supportata dal modello statistico.

Il modello lineare più semplice, con una sola variabile indipendente X, si scrive comunemente come

Y = a + b X

dove a è l’intercetta (valore di Y quando X = 0) e b è la pendenza della retta, cioe' la variazione attesa di Y per unità di variazione di X. La stima dei parametri a e b avviene tipicamente mediante il metodo dei minimi quadrati, che minimizza la somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati di Y e i valori predetti dal modello.

Relazione tra correlazione, covarianza e regressione. La covarianza tra Y e X compare nella formula della pendenza b del modello di regressione semplice (b = cov(Y,X)/var(X)), anche se tale formula non è riportata esplicitamente nella fonte; tuttavia il legame concettuale è coerente con le definizioni di covarianza e di regressione fornite. La correlazione, essendo una versione normalizzata della covarianza (coefficiente di correlazione = cov(Y,X) / (sd(Y) sd(X))), misura la forza della relazione lineare, mentre la regressione utilizza la stessa informazione per costruire una funzione predittiva.

Indici di concordanza. La fonte enciclopedica non contiene descrizioni specifiche di indici di concordanza quali il coefficiente gamma o altri indici non parametrici. Pertanto, in questa dispensa non vengono approfonditi tali indici; lo studente dovra' consultare ulteriori testi per una trattazione completa di questi strumenti.

In sintesi, l’analisi di associazione si basa su tre concetti fondamentali: la correlazione, che descrive la presenza e la direzione di una relazione; la covarianza, che quantifica la variabilita' congiunta; e la regressione lineare, che fornisce un modello predittivo del valore atteso di una variabile dipendente in funzione di una o più variabili indipendenti. La comprensione di questi concetti permette di interpretare correttamente i dati osservati e di costruire modelli utili in numerosi campi applicativi, dalla scienza alle scienze sociali.

Un numero indice (o semplicemente indice) e' un valore numerico che esprime il variare dell'intensita' di un fenomeno in circostanze diverse. Gli indici piu' comuni sono quelli di prezzo, che descrivono l'andamento nel tempo del livello dei prezzi in una data area geografica, e le parita' dei poteri d'acquisto, che consentono di confrontare i livelli dei prezzi in localita' diverse nello stesso momento.

Il numero indice semplice e' il rapporto tra due grandezze. Quando le due grandezze rappresentano lo stesso fenomeno osservato in due tempi diversi si parla di indice temporale; quando rappresentano lo stesso fenomeno osservato in due territori diversi si parla di indice territoriale. Per esempio, la popolazione residente in Italia al 1° gennaio 2005 era di 58.462.375 unità e al 1° gennaio 2007 era di 59.131.287 unità. Il numero indice temporale che misura l'incremento dal 2005 al 2007 e': I_2005,2007 = 59.131.287 / 58.462.375 = 1,0114, cioe' un aumento dell'1,14%.

Un indice territoriale comparativo, ad esempio tra Lombardia e Campania al 1° gennaio 2007, si calcola come I_C,L = 9.545.441 / 5.790.187 = 1,6486, indicando che la Lombardia supera la Campania del 64,86%.

Spesso si moltiplica l'indice per 100 per ridurre il numero di cifre decimali; in tal caso la variazione percentuale si ottiene sottraendo 100 dal valore ottenuto. La grandezza posta al denominatore e' detta base dell'indice.

Se si confrontano solo due momenti o due luoghi gli indici sono bilaterali; se si considerano piu' di due momenti o luoghi gli indici sono multilaterali. Gli indici multilaterali possono essere a base fissa o a base mobile. Con base fissa si sceglie un unico riferimento (ad esempio il 2005) e si calcolano tutti gli indici rispetto a quel valore. Con base mobile ogni indice e' calcolato rispetto al valore immediatamente precedente.

Nel caso della popolazione italiana, l'indice a base fissa per il 2006 e' I_2005,2006 = 58.751.711 / 58.462.375 = 1,0049, mentre per il 2007 e' I_2005,2007 = 1,0114. Con base mobile, l'indice 2006/2005 resta 1,0049, ma l'indice 2007/2006 e' 59.131.287 / 58.751.711 = 1,0065. La relazione I_0,T = I_0,S·I_S,T permette di passare da indici a base mobile a indici a base fissa e viceversa.

I numeri indice complessi sono utilizzati quando il fenomeno varia sia per quantità (o volume) sia per prezzo. In tali casi si considerano i prezzi p_i e le quantità q_i dei singoli beni i = 1,2,...,N al tempo considerato, per costruire indici che separano l'effetto della variazione di volume da quello della variazione di prezzo.

Le serie storiche (o temporali) sono collezioni ordinate di osservazioni rispetto al tempo. Ogni osservazione Y_t rappresenta il valore del fenomeno al tempo t, dove t assume valori interi da 1 a T, T essendo il numero complessivo di periodi osservati. Una serie storica e' denotata come Y = {Y₁, Y₂, ..., Y_T} e ha lunghezza T.

Le serie storiche possono essere di tipo deterministico, quando i valori futuri sono determinati con precisione dai valori precedenti, o di tipo stocastico, quando la determinazione e' solo parziale. La maggior parte delle serie osservate e' di tipo stocastico, per cui le previsioni non possono essere prive di errore.

L'approccio classico all'analisi delle serie storiche assume un modello della forma Y_t = f(t) + u_t, dove f(t) e' la componente deterministica (parte sistematica) e u_t e' la componente stocastica (variabili aleatorie). L'approccio moderno, invece, si concentra sulla parte stocastica, supponendo che la parte sistematica sia stata rimossa o sia assente.

Le serie possono essere classificate come serie o seriazioni a seconda della natura del carattere osservato. Quando si contano le unità che presentano le stesse modalita' di un carattere qualitativo (geografico, alfabetico, cromatico, ecc.) si parla di serie. Quando si contano le unità che presentano gli stessi valori di un carattere quantitativo si parla di seriazioni.

Una serie statistica e' una collezione ordinata di dati, cioe' un insieme di dati disposti in ordine consecutivo (sequenza), dove ogni dato rappresenta una modalita' o un valore del carattere osservato su ciascuna delle unità statistiche considerate.

Le distribuzioni di frequenza possono essere di due tipi: distribuzione di frequenze (conteggio delle unità per ciascuna modalita') e distribuzione di quantita' (somma del valore del carattere per ciascuna classe). Per esempio, nella distribuzione di quantita' del numero di dipendenti per classe di aziende, la seconda riga indica che le aziende con da 6 a 20 dipendenti impiegano complessivamente 3.123.203 dipendenti.

Le rappresentazioni grafiche variano a seconda del tipo di serie. Le serie territoriali sono spesso illustrate con cartogrammi, dove i diversi territori sono colorati in base all'intensita' del fenomeno. Le serie storiche sono tipicamente rappresentate con linee spezzate, mentre le distribuzioni di frequenza qualitativa usano diagrammi a barre o a torta, e quelle quantitative continue usano istogrammi.

Le serie di intensita' sono un caso particolare di distribuzioni unitarie: presentano le diverse intensita' di un fenomeno rilevate secondo un criterio qualitativo piuttosto che mediante una misura numerica. Esempi tipici sono le serie territoriali (intensita' di un prezzo per regione) e le serie storiche (intensita' di un indicatore economico per anno).

Le componenti di una serie storica includono:

- La componente tendenziale (trend), che indica un andamento crescente, decrescente o costante con fluttuazioni regolari. I metodi piu' usati per stimare il trend sono il metodo dei minimi quadrati e le medie mobili.

- La componente ciclica, che descrive fluttuazioni periodiche o non periodiche attorno al trend, tipiche dei cicli economici (prosperita', recessione, crisi, ripresa).

- La componente stagionale, che cattura variazioni ricorrenti negli stessi mesi di anni diversi. Si analizza con la serie ideale di 12 mesi o con la media mobile di 12 mesi.

- La componente casuale (accidentale), costituita da piccole oscillazioni dovute a eventi imprevedibili (scioperi, elezioni, ecc.).

- La componente occasionale, dovuta a eventi rari e di grande impatto (guerre, innovazioni tecnologiche, crisi politiche). Se l'evento si smorza rapidamente e non altera il trend, il dato viene sostituito da un valore fittizio ottenuto per interpolazione; se il trend cambia, la serie viene spezzata in due periodi distinti per analisi separate.

Per valutare la dispersione di una serie si utilizza lo scarto quadratico medio (deviazione standard) sigma, definito come sigma = sqrt( (1/N) Σ (x_i - μ)² ), dove μ e' la media aritmetica della popolazione. Il coefficiente di variazione sigma* = sigma / |μ| fornisce una misura relativa della dispersione, spesso espressa in percentuale, e permette di confrontare dispersioni di variabili con unità di misura diverse.

Gli indicatori di disuguaglianza, tra cui il coefficiente di Gini, sono utilizzati per quantificare la distribuzione ineguale di un fenomeno (ad esempio reddito o ricchezza) all'interno di una popolazione. Sebbene la fonte non fornisca la formula specifica del Gini, e' noto che esso si basa sulla curva di Lorenz e misura l'area compresa tra la curva di uguaglianza perfetta e la curva di distribuzione osservata.

In sintesi, la costruzione di numeri indice richiede la scelta di una base (fissa o mobile) e il calcolo di rapporti tra grandezze osservate. Le serie storiche, organizzate come sequenze temporali, vengono analizzate scomponendo il fenomeno in trend, ciclicità, stagionalita' e componenti casuali, e la loro dispersione viene quantificata mediante scarto quadratico medio e coefficienti di variazione. Gli indicatori di disuguaglianza, come il coefficiente di Gini, completano l'analisi fornendo una misura sintetica della distribuzione non uniforme del fenomeno studiato.

L'Istituto nazionale di statistica (Istat) è il produttore di statistica ufficiale in Italia. Per statuto, la realizzazione di indagini, studi e analisi è finalizzata alla produzione di statistica ufficiale e a soddisfare il bisogno informativo espresso dalla collettività. Le rilevazioni di pubblico interesse sono stabilite dal Programma statistico nazionale (PSN), documento triennale con aggiornamento annuale, che regola l'attività di produzione statistica. Il PSN è preparato da circoli di qualità composti da esperti provenienti dagli uffici statistici di tutto il Sistema statistico nazionale (SISTAN).

Il SISTAN, istituito con il decreto legislativo 6 settembre 1989, n. 322, razionalizza la produzione e diffusione delle informazioni e ottimizza le risorse destinate alla statistica ufficiale. Oltre all'Istat, ne fanno parte gli uffici di statistica centrali e periferici delle amministrazioni dello Stato, degli enti locali e territoriali, delle Camere di Commercio, di altri enti e amministrazioni pubbliche, e altri enti e organismi pubblici di informazione statistica. L'Istat svolge un ruolo di indirizzo, coordinamento, assistenza tecnica e formazione all'interno del SISTAN.

Per garantire la qualità dei dati, l'Istat si attiene ai principi fondamentali della statistica ufficiale: imparzialità, affidabilità, pertinenza, efficienza, riservatezza e trasparenza. Il rispetto di questi principi è sancito dal Codice italiano delle statistiche ufficiali e, a livello europeo, dal Codice delle statistiche europee adottato dalla Commissione europea nel 2005, che fissa 15 principi chiave cui gli istituti di statistica devono attenersi nella produzione e diffusione dell'informazione statistica.

Il principio di riservatezza statistica implica che i dati raccolti per finalità statistiche siano trattati in forma anonima o aggregata, impedendo l'identificazione dei singoli rispondenti. La normativa prevede inoltre il segreto statistico come principio di protezione dei dati personali. Le regole deontologiche per trattamenti a fini statistici o di ricerca scientifica definiscono i criteri e le procedure per il trattamento dei dati personali nell'ambito del SISTAN.

Per quanto riguarda la diffusione, l'Istat pubblica i risultati con tempestività e puntualità, garantendo l'imparzialità nella diffusione. I contenuti pubblicati dall'Istat sono disponibili con licenza Creative Commons Attribuzione 3.0 e, per la documentazione del SISTAN, con licenza Creative Commons BY-SA. Queste licenze consentono il riutilizzo libero dei dati a condizione di attribuzione, favorendo la trasparenza e l'accessibilità delle informazioni.

Le metodologie solide sono un altro pilastro della qualità statistica. L'Istat utilizza metodologie consolidate, procedure statistiche appropriate e processi di verifica della coerenza interna ed esterna dei dati. Le procedure di qualità includono il controllo della pertinenza, la proporzionalità rispetto alle esigenze dell'indagine, la riduzione dell'onere sui rispondenti e l'adeguatezza delle risorse. Il Consiglio dell'Istat, il Direttore Generale e il Comitato di indirizzo e coordinamento dell'informazione statistica (Comstat) supervisionano l'applicazione di queste procedure, approvano il PSN, il piano triennale di attività e performance, e forniscono pareri su regolamenti, linee guida e iniziative di formazione.

Infine, la qualità statistica è sostenuta da un impegno continuo nella formazione e nell'aggiornamento del personale. Il Consiglio dell'Istat approva il piano triennale di fabbisogno di personale e il piano annuale delle performance, mentre il Comstat esprime pareri sul programma delle iniziative di formazione e aggiornamento del personale del SISTAN. Questo sistema di governance, unito a licenze aperte, principi di riservatezza e metodologie solide, costituisce la base per la produzione di statistiche ufficiali affidabili, pertinenti e utili alla collettività.

Il presente capitolo raccoglie una serie di esercizi, quiz a risposta multipla e casi pratici pensati per consolidare le conoscenze acquisite nei capitoli precedenti. Ogni sezione richiama i concetti fondamentali della statistica descrittiva, inferenziale, delle serie storiche, della popolazione statistica, dei metodi di campionamento, delle misure di posizione e di dispersione. Si consiglia di affrontare gli esercizi nell'ordine indicato, verificando le soluzioni con le formule riportate nella sezione di riepilogo.

Esercizi di calcolo

Esercizio 1 – Media aritmetica semplice. Si consideri il seguente campione di cinque valori: 12, 15, 9, 20, 14. Calcolare la media aritmetica M_a usando la definizione M_a = (1/n) Σ x_i. Verificare il risultato con la formula basata sulle frequenze relative, considerando che ogni valore ha frequenza assoluta pari a 1.

Esercizio 2 – Media aritmetica ponderata. Un'azienda registra le vendite di tre prodotti con i seguenti dati: prodotto A (vendite 300 unità, peso 2), prodotto B (vendite 150 unità, peso 1) e prodotto C (vendite 450 unità, peso 3). Calcolare la media ponderata M_{a,pond} secondo la formula M_{a,pond}= Σ x_i f_i / Σ f_i.

Esercizio 3 – Varianza mediante momento di ordine 2. Per il campione dell'esercizio 1, calcolare la varianza σ^2 usando la relazione σ^2 = E[X^2] – (E[X])^2. Si ricorda che E[X^2] è la media dei quadrati dei valori.

Esercizio 4 – Varianza di una somma di variabili indipendenti. Supponiamo di avere due variabili aleatorie indipendenti X e Y con varianze σ_X^2 = 4 e σ_Y^2 = 9. Qual e' la varianza della loro somma Z = X + Y? Applicare la proprietà σ_{X+Y}^2 = σ_X^2 + σ_Y^2.

Quiz a risposta multipla

Per ciascuna domanda, scegliere la risposta corretta tra le quattro proposte.

• Domanda 1. Nelle serie storiche, la componente f(t) è definita come:
• A) la parte stocastica, cioe' il rumore.
• B) la parte sistematica, cioe' la sequenza deterministica.
• C) la media aritmetica dei dati.
• D) la varianza della serie.
• Domanda 2. Un collettivo di stato si caratterizza per:
• A) essere definito rispetto a un intervallo di tempo.
• B) includere unità statistiche osservabili solo teoricamente.
• C) essere definito rispetto a un preciso istante temporale.
• D) contenere un numero infinito di unità.
• Domanda 3. Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente il campionamento sistematico?
• A) Si estraggono unità a caso con uguale probabilita'.
• B) Si selezionano unità in base a quote predeterminate.
• C) Si sceglie una prima unità casuale e poi si procede con un passo fisso.
• D) Si campiona solo le unità più facili da raggiungere.
• Domanda 4. La varianza è invariante per traslazione. Cosa implica questa proprieta'?
• A) Aggiungere una costante a tutti i valori non modifica la varianza.
• B) Moltiplicare tutti i valori per una costante non modifica la varianza.
• C) La varianza dipende solo dal valore medio.
• D) La varianza e' sempre positiva.

Casi pratici integrati

Caso 1 – Analisi di una serie temporale. Un ricercatore dispone dei seguenti valori mensili di una variabile economica: 105, 110, 108, 115, 120, 118. Deve stabilire se la serie e' di tipo deterministico o stocastico. Indicare quale modello (deterministico o stocastico) e quale componente (f(t) o u_t) dovrebbe essere stimata per effettuare previsioni.

Soluzione indicativa. Poiche' la serie presenta variazioni non prevedibili con precisione assoluta, si tratta di una serie stocastica. Il modello classico prevede la decomposizione Y_t = f(t) + u_t, dove f(t) rappresenta la parte sistematica (trend o stagionalita') e u_t la parte aleatoria.

Caso 2 – Definizione di popolazione e campionamento. Un ente statistico vuole stimare il reddito medio annuo delle famiglie residenti in una regione. La popolazione teorica comprende tutte le famiglie residenti al 31 dicembre dell'anno di riferimento. Qual e' la differenza tra popolazione teorica e popolazione accessibile? Quale metodo di campionamento sarebbe più adeguato per garantire stimatori non distorti?

Soluzione indicativa. La popolazione teorica e' l'insieme di tutte le famiglie che soddisfano il criterio di residenza; la popolazione accessibile e' quella effettivamente raggiungibile per l'indagine (ad esempio le famiglie censite). Per ottenere stimatori non distorti, un campionamento casuale (random sampling) o un campionamento probabilistico garantisce che ogni unità abbia una probabilita' nota e positiva di essere selezionata.

Caso 3 – Calcolo di media e varianza con dati raggruppati. Si consideri la distribuzione di frequenza di un carattere X con tre modalità: x1 = 5 (frequenza assoluta n1 = 8), x2 = 10 (n2 = 12), x3 = 15 (n3 = 5). Calcolare la media aritmetica usando la formula M_a = Σ x_j f_j dove f_j = n_j / n, e la varianza usando la definizione σ^2 = Σ (x_j – M_a)^2 f_j.

Soluzione indicativa. Il totale n = 8+12+5 = 25. Le frequenze relative sono f1 = 8/25, f2 = 12/25, f3 = 5/25. La media e' M_a = 5·(8/25) + 10·(12/25) + 15·(5/25) = 9,2. La varianza si calcola come Σ (x_j – 9,2)^2 f_j = (5‑9,2)^2·(8/25) + (10‑9,2)^2·(12/25) + (15‑9,2)^2·(5/25) ≈ 13,76.

Riepilogo delle formule chiave

• Media aritmetica semplice: M_a = (1/n) Σ_{i=1}^{n} x_i.
• Media aritmetica ponderata: M_{a,pond}= Σ_{i=1}^{n} x_i f_i / Σ_{i=1}^{n} f_i, dove f_i e' il peso.
• Varianza (definizione alternativa): σ_X^2 = E[X^2] – (E[X])^2.
• Invarianza per traslazione: σ_{aX+b}^2 = a^2 σ_X^2.
• Varianza della somma di variabili indipendenti: σ_{X+Y}^2 = σ_X^2 + σ_Y^2.
• Varianza della differenza di variabili indipendenti: σ_{X−Y}^2 = σ_X^2 + σ_Y^2.

Strategie di studio

Per prepararsi al meglio, si consiglia di:

• Rileggere le definizioni di popolazione, collettivo di stato e di movimento, e distinguere tra collettivi empirici e teorici.
• Esercitarsi con dati raggruppati per consolidare il calcolo della media e della varianza mediante frequenze relative.
• Simulare diversi metodi di campionamento (casuale, sistematico, per quote) su piccoli dataset per comprendere le differenze in termini di bias e varianza degli stimatori.
• Analizzare brevi serie temporali per identificare la presenza di una componente deterministica (f(t)) e di una componente stocastica (u_t).

Il completamento di tutti gli esercizi, la revisione delle soluzioni e la riflessione sui casi pratici forniscono una solida base per affrontare le prove d'esame su statistica e metodi statistici.